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2021届新高考数学三轮冲刺训练
计数原理及二项式定理
1、排列组合问题往往以实际问题为背景,考查排列数、组合数、分类分步计数原理,往往是排列组合小综合题.
2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项式定理的应用.
排列、组合
1. 分类加法计数原理
完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法,…,在第n类方式中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=__m1+m2+…+mn__种不同的方法.
2. 分步乘法计数原理
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=__m1×m2×…×mn__种不同的方法.
3. 排列与排列数
(1)排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__.
(2)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__,用符号__Aeq \o\al(m,n)__表示.
(3)排列数公式:
Aeq \o\al(m,n)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=eq \f(n!,(n-m)!)(n,m∈N*,并且m≤n)
Aeq \o\al(n,n)=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1=n!,规定0!=1.
4. 组合与组合数
(1)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__.
(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__,用符号__Ceq \o\al(m,n)__表示.
(3)组合数公式:
Ceq \o\al(m,n)=eq \f(Aeq \o\al(m,n),Aeq \o\al(m,m))=eq \f(n(n-1)(n-2)…(n-m+1),m!)=
eq \f(n!,m!(n-m)!)(n,m∈N*,并且m≤n).
(4)组合数的性质:
性质1:Ceq \o\al(m,n)=Ceq \o\al(n-m,n).
性质2:Ceq \o\al(m,n+1)=Ceq \o\al(m-1,n)+Ceq \o\al(m,n).
性质3:mCeq \o\al(m,n)=n·Ceq \o\al(m-1,n-1).
二、 二项式定理
1· 二项式定理的展开式
公式:(a+b)n=Ceq \o\al(0,n)an+Ceq \o\al(1,n)an-1b+…+Ceq \o\al(k,n)an-kbk+…+Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*)
这个公式表示的定理叫做二项式定理.在上式中右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中的系数Ceq \o\al(k,n)(k=0,1,…,n)叫做二项式系数,式中的Ceq \o\al(k,n)an-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即Tk+1=Ceq \o\al(k,n)an-kbk.
2. 二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂_排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从Ceq \o\al(0,n),Ceq \o\al(1,n),一直到Ceq \o\al(n-1,n),Ceq \o\al(n,n).
一、杨辉三角”与二项式系数的性质
(1)“杨辉三角”有如下规律:左右两边斜行都是1,其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.
(2)对称性:在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即Ceq \o\al(m,n)=Ceq \o\al(n-m,n).
(3)增减性与最大值:二项式系数Ceq \o\al(k,n),当k<eq \f(n+1,2)时,二项式系数逐渐增大;
当k>eq \f(n+1,2)时,二项式系数逐渐减小.当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数最大.
(4)各二项式系数的和:(a+b)n的展开式的各项二项式系数之和为2n,即Ceq \o\al(0,n)+Ceq \o\al(1,n)+…+Ceq \o\al(n,n)=2n.
(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,即Ceq \o\al(0,n)+Ceq
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