2021年高考数学解答题满分专练4.2 数列（文）（解析版）.docxVIP

专题4.2 数 列 1．（2020·全国高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论． 【解析】（1）设的公比为，为的等差中项， ，； （2）设的前项和为，， ，① ，② ①②得， ， ． 【名师点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题． 2．（2020·海南高考真题）已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；（2）首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可． 【解析】（1） 设等比数列的公比为q(q>1)，则， 整理可得，， 数列的通项公式为． （2）由于：，故： ． 【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础． 3．（2018·全国高考真题）等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【答案】（1）或 ．（2）． 【分析】（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m． 【解析】（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得， 此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题． 4．（2019·全国高考真题（文））已知是各项均为正数的等比数列，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；（2）本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果． 【解析】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，， 所以令数列的公比为，，， 所以，解得(舍去)或， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，． （2）因为，所以，，， 所以数列是首项为、公差为的等差数列，． 【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题． 5．（2018·天津高考真题（文））设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （1）求Sn和Tn； （2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 【答案】（1），；（2）4． 【分析】（1）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则．结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前n项和．（2）由（1），知 据此可得 解得（舍），或．则n的值为4． 【解析】（1）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得． 因为，可得，故．所以，． 设等差数列的公差为．由，可得． 由，可得从而，故，所以，． （2）由（1），有 由， 可得， 整理得解得（舍），或．所以n的值为4． 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力． 6．（2018·天津高考真题）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列．已知，，，． （1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为， ①求； ②证明． 【答案】（1），；（2）①．②证明见解析． 【解析】（1）设等比数列的公比为q．由 可得．因为，可得，故． 设等差数列的公差为d，由，可得 由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为 （2）①由（1），有， 故． ②因为， 所以． 【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 7．（2018·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16． 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式，求出公