2021届新高考数学三轮冲刺训练：数列【含答案】.doc

2021届新高考数学三轮冲刺训练 数 列 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 等差数列 1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示 2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形： （1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式 （2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差 （3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项 （1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即 （2）如果为等差数列，则，均为的等差中项 （3）如果为等差数列，则 4、等差数列通项公式与函数的关系： ，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。 5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形： （1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可 （2）由通项公式可得： 作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式 ② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。 （3）当时， 因为 而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系 当时 ，即偶数项和与中间两项和的联系 6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析 等比数列 1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比 注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列 2、等比数列通项公式：，也可以为： 3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项 （1）若为的等比中项，则有 （2）若为等比数列，则，均为的等比中项 （3）若为等比数列，则有 4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为 当时，则为常数列，所以 当时，则 可变形为：，设，可得： 5、由等比数列生成的新等比数列 （1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列，则有 ① 数列（为常数）为等比数列 ② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列 ③ 数列为等比数列 ④ 数列为等比数列 6、等比数列的判定：（假设不是常数列） （1）定义法（递推公式）： （2）通项公式：（指数类函数） （3）前项和公式： 数列的求和的方法 （1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： （3）错位相减法： 通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和 （4）裂项相消： 的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 （5）分组求和 如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和 （1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可 （2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和 （3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点， 对于选择题中的选项，可以运用代入法进行排除。 对于解答题若涉及到求和问题一定眼验证，确保答案的正确。 1、记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，解得，