2021届新高考数学三轮冲刺训练：平面向量【含答案】.docVIP

2021届新高考数学三轮冲刺训练 平面向量 1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题； 2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易. 1、向量共线定理 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. 2、平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键. （2）平面向量共线的坐标表示 两向量平行的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 3、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得。其中成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量） 4、向量数量积运算，其中为向量的夹角 5、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角， 其中：同向 ：反向 ： 6、数量积运算法则： （1）交换律： （2）系数结合律： （3）分配律： 7、平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝eq \r(a·a)； (4)cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)； (5)|a·b|≤|a||b|. 8、平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2). (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2). (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 1、判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定. 失误与防范 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0. 2、运用向量解决数量积的问题常用的方法有：1、基底法；2、向量法； 1、已知向量a，b满足，，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，. ， 因此，. 故选：D． 2、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A． 3、已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B． 4、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A．?3 B．?2 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由，，得，则，．故选C． 5、在中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的运算法则，可得 ，所以. 故选A. 6、设为单位向量，且，则______________. 【答案】 【解析】因为为单位向量，所以 所以， 解得：， 所以， 故答案为：. 7、已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 【答案】 【解析】由题意可得：， 由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：. 故答案为：． 8、如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】(1). ；(2). 【解析】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, ∵又∵,则，设，则（其中）， ，， ，