专题3.1 解三角形（常规型）（新高考）（解析版）.docxVIP

专题3.1 解三角形（常规型） 1．“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略： 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息． （1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理； （2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理； （3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 2．“边化角”或“角化边”的变换策略： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理． 3．三角形面积的最值问题的解题策略： （1）找到边之间的关系，利用基本不等式求最值， （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值． 【预测题1】在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足 ． （1）求； （2）若，的外接圆半径为，求的边上的高． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用正弦定理将条件转化为边的关系，再结合余弦定理可得角； （2）由正弦定理求出，利用余弦定理和三角形面积公式可得的边上的高． 【解析】（1）由，得， 由正弦定理，得 ，整理，得， 所以，又，所以． （2）的外接圆半径为， 由正弦定理有 ：即， 由余弦定理得，所以， 所以的面积， 所以． 【预测题2】在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，且． （1）若的面积为，且满足，求角的大小； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据三角形面积公式以及求解出的表示，再根据已知的的表示可求的值，则角可求；（2）根据以及正弦定理可得，根据将表示为的形式，结合诱导公式以及两角和的正弦公式进行化简，从而可完成证明． 【解析】由，，得， 又，，． ，． 由及正弦定理得， ． ， ， ， ． 【名师点睛】利用正弦定理进行边角互化时需要注意： （1）合理选择边化角或角化边； （2）隐含条件的使用：； （3）三角函数公式或三角恒等变换公式的运用． 【预测题3】的内角、、的对边分别为、、， ． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，代入计算可得角；（2）已知边和角，余弦定理求的最大值，代入三角形面积公式可求出面积的最大值． 【解析】（1）， ． ，即． ，．． ，． （2）由（1）知， 又，，． ，，解得． ． 当时，由得，． 面积的最大值为． 【名师点睛】（1）解三角形的问题常用正弦定理进行边角互化； （2）求三角形的面积问题一般情况下用已知角的面积公式求面积，余弦定理或正弦定理求范围均可． 【预测题4】在中，，，分别是角，，的对边，且，，． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由向量垂直可得，从而可求得答案． （2）由正弦定理结合条件可得，再由余弦定理可得出，从而可得面积． 【解析】（1）由，则， 即 ， ，又，； （2）， ，， ，即， ． 又， 即，所以， . 【预测题5】已知等腰中，角，，的对边分别为，，，，是的中点． （1）若，，，求的面积； （2）若的面积等于，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用和三角恒等变换，求得，再利用三角形的面积公式即可求解；（2）利用三角形的面积公式建立与的关系，再利用余弦定理表示出，最后利用辅助角公式即可求解． 【解析】（1）在中，． 由，， 得，， 所以 ． 因为，所以三角形的面积 ； （2）， 所以，所以， 在中，由余弦定理得 ， 即，其中． 又，即， 解得，所以的最小值为． 【名师点睛】本题考查余弦定理及三角形的面积公式、三角恒等变换，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养． 【预测题6】在中，三个内角为A，B，C且满足 ． （1）如果，求的值； （2）求的最小值， 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先对已知条件进行化简得到，代入条件，即可求出的值；（2）由（1）得到，根据正弦定理可得到，再由余弦定理结合基本不等式可得到，即可求出的最小值． 【解析】（1）由题意， ， 所以， 所以， 所以． 因为，所以． （2）设三角形的三边长分别为，，， 由（1）得，根据正弦定理，可得． 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 【名师点睛】本题考查正、余弦定理的应用，解题的关键是根据题中等式关系，求得．本题中根据题中等式关系，利用切化弦，并结合两角和的正弦公式，可求得．考查学生的逻辑推理能力与计算能力