2021年沪教版数学必修二同步第13讲向量的应用（练习）教师版.docxVIP

向量的应用（练习） 夯实基础 一、单选题 1．（2020·湖北武汉市第十一中学高一月考）已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】表示的是方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心. 【详解】如图，设，， 已知均为单位向量， 故四边形为菱形，所以平分， 由 得，又与有公共点， 故三点共线， 所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心. 故选：A. 2．（2021·浙江高三专题练习）在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】以点A为原点建立如图坐标系写出各点坐标，先根据得到恒成立，再利用解得，证得点在边的垂直平分线上，即得答案. 【详解】由题意，以点A为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 取，则，设，，则，，，， 则由知，，即恒成立，所以，即，解得，即点在边的垂直平分线上，所以. 故选：A. 3．（2018·上海市杨思中学高二期中）在中，“”是“为钝角三角形”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】由可得出角为钝角，然后再利用充分条件、必要条件定义得出两条件之间的关系. 【详解】，，则为钝角， “”“是钝角三角形”， 另一方面，“是钝角三角形”“是钝角”. 因此，“”是“为钝角三角形”的充分非必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，要结合充分条件与必要条件的定义来判断，考查推理能力，属于中等题. 4．（2018·上海浦东新区·高二期末）在四边形中，若，且，则四边形是 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【分析】根据向量相等可知四边形为平行四边形；由数量积为零可知，从而得到四边形为矩形. 【详解】，可知且 四边形为平行四边形 由可知： 四边形为矩形 本题正确选项： 【点睛】本题考查相等向量、垂直关系的向量表示，属于基础题. 二、填空题 5．（2020·上海市七宝中学）设点在内部，且，则与的面积之比为________. 【答案】 【分析】本题可根据奔驰定理以及得出结果. 【详解】因为点在内部，满足奔驰定理，且， 所以与的面积之比为， 故答案为：. 【点睛】本题考查奔驰定理在解决向量问题中的应用，奔驰定理可用来解决三角形中的面积比值问题，考查计算能力，是简单题. 6．（2020·上海高二课时练习）在静水中划船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是________． 【答案】 【分析】如图所示，设水流的速度为，船航行的速度为，根据平行四边形法则得到，然后在直角三角形中，计算出，可得. 【详解】如图所示，设水流的速度为，船航行的速度为， 由题意可知，，且，，， 在直角三角形中，，， 所以，所以， 所以船行进的方向与水流方向所成角是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量的应用，考查了平行四边法则，属于基础题. 7．（2020·上海高二课时练习）已知三个力，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力________． 【答案】 【分析】根据及其向量加法的坐标运算可得答案. 【详解】依题意可得， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算，属于基础题. 8．（2020·上海嘉定区·）若向量和都是单位向量，并且夹角大小为，则以和为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度为____________. 【答案】 【分析】以和为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度即是，利用 可求对角线的长度． 【详解】 以和为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度即是， 而． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的加法和向量的模，注意求向量的模长时应利用，本题属于基础题． 9．（2020·上海市南洋模范中学高二月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为______. 【答案】 【分析】先利用三角形内角和为，根据可以求出，再由正弦定理求出，即可利用三角形面积公式求出. 【详解】由题可知，在中， 由正弦定理可得， ， . 故答案：. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，需要利用和的正弦公式和三角形面积公式，是高考必考题型. 10．（2020·上海市金山中学高二期中）有一山坡倾斜角为30°，若在斜坡平面内沿着一条与斜坡线成45°角的直路前进了100米，则升高了________米. 【答案】 【分析】由题意得到对应示意图，在图中确定斜坡线AB、行进路线AC及夹角∠DAC = 45°，进而可确定上升的高度为DE，利用特殊角30°、4