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2021年高考数学压轴必刷题(第二辑)
专题08分段函数及其应用B辑
1.已知函数 若不等式对任意上恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解:由题意得:设,易得,
可得,与x轴的交点为,
① 当,由不等式对任意上恒成立,可得临界值时,相切,此时,,
可得,可得切线斜率为2,,,可得切点坐标(3,3),
可得切线方程:,切线与x轴的交点为,可得此时,,
综合函数图像可得;
② 同理,当,由相切,
(1)当,,可得,可得切线斜率为-2,,,可得切点坐标(1,3),可得切线方程,可得,综合函数图像可得,
(2)当,,相切,可得,
此时可得可得切线斜率为-2,,,可得切点坐标,
可得切线方程:,
可得切线与x轴的交点为,可得此时,,
综合函数图像可得,
综上所述可得,
故选C.
2.已知函数与函数有相同的对称中心,若有最大值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
因为的对称中心为(0,1),则由平移知识可得,.如图作出函数与直线的图象,
它们的交点是,由,可以判断是函数的极大值点,由图象知当时,有最大值是或;当时,由,因此无最大值,∴所求的取值范围是.
3.定义域为的函数满足,当时,,若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
因为当时,不等式恒成立,所以,
当时,
当时,,当时, ,因此当时,,选B.
4.已知函数若关于的方程都有4个不同的根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
都有4个不同的根,等价于的图象有四个交点,
因为,
所以,若,则,则;
若,则,则;
若,则,则;
若,则,则;
若,则,则;
,
作出的图象如图,求得,
则,
由图可知,时,的图象有四个交点,
此时,关于的方程有4个不同的根,
所以,的取值范围是,故选C .
5.已知函数f(x)是定义在(?∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,f(x)=2|x?1|,0<x≤2
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【解析】
函数gx=4fx?1有零点即
由题意可知,当0<x≤2时,f(x)=2|x?1|,当x>2时,
所以当2<x≤4时,f(x)=12×2|x?3|
当4<x≤6时,f(x)=14×2|x?5|,此时f(x)的取值范围为1
当6<x≤8时,f(x)=18×2|x?7|,此时f(x)的取值范围为1
当8<x≤10时,f(x)=116×2|x?9|
所以当x>0时,fx=14有两解,即当
因为函数f(x)是定义在(?∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
所以当x<0时,fx
所以函数gx=4fx
6.已知函数(,且)在上单调递增,且关于的方程恰有两个不相等的实数解,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
由函数的解析式可知函数在区间上单调递增,
当时,函数单调递减,由复合函数的单调性法则可知:,
且函数在处满足:,解得:,故,
方程恰有两个不相等的实数解,则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点,
绘制函数的图像如图中虚线所示,
令可得:,
由可知,,
则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点,
原问题转化为函数与二次函数在区间上存在唯一的交点,
很明显当,即时满足题意,
当直线与二次函数相切时,设切点坐标为,亦即,
由函数的解析式可得:,故:,则,
切点坐标为,从而:,即.
据此可得:的取值范围是.
故选D.
7.已知函数若关于的方程有且仅有两个不同的整数解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
,
当且仅当时,,
方程有且仅有两个不同的整数解等价于,
有两个不同的整数解,
即图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数,
画出的图象,如图,
,
由图象可知,当时,即时,
图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标0,为整数,
所以的取值范围是,故选A.
8.已知函数定义在上的函数满足:,当,,则与的大小关系为( )
A. B.
C. D.不能确定
【答案】A
【解析】
由,知函数在上单调递减,在上单调递增,又,所以函数为偶函数.由,得函数的周期为4.
又 ,
,
而,,且,
所以.故选A.
9.设函数,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解:分析题意,可知:
∵a为对数的底数,
∴a只能取a>1和0<a<1两个范围.
又由题意?x∈R,f(x)>2,
而当0<a<1时,f(x)在x≥1时单调递减趋向﹣∞.
∴0<a<1不满足题意,舍去.
∴只有a>1的情况合适.
当a>1时,函数f(x)在x≥1时的表达式loga(x+3)在x≥1上单调递增,
且在x=1时取最小值f
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