八年级数学竞赛专题训练16等腰三角形的性质(附答案).docxVIP

八年级数学竞赛专题训练16 等腰三角形的性质 阅读与思考 等腰三角形是一类特殊三角形，具有特姝的性质，这些性质为角度的讣算、线段相等、直线位宜关 系的证明等问题提供了新的理论依据.因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形 知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基 本图形、基本结论. (1)图 1 中， (1)图 1 中，ZA = 180°-2ZB, ZB=ZC= 180(>-ZA 2 ZDAC = 2ZB = 2ZC ? （2）图2中,只要下述四个条件： ?AB = AC；②Z1 = Z2：③CD = DB；④AD丄BC中任意两个成立，就可以推出英余两个成 立. 例题与求解 【例1】如图，在8BC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC. BC=BD, AD=DE=BE, 则Z心 . （五城市联赛试题） 解题思路：图中有很多相关的角，用ZA的代数式表示这些角，建立关于ZA的等式. 【例2】如图，在AABC中，已知ZBAC=90°, AB=AC. D为AC中点，AE丄BD于E,延长AE交 BC 于 F,求证：ZADB=ZCDF? （安徽省竞賽试题） 解题思路：ZADB与ZCDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中， 作顶角的平分线或底边上的髙（中线）是一条常用的辅助线. 【例3】如图，在△ABC中，AC=BC, ZACB=90\ D是AC上一点，且A￡垂直BD的延长线于& 又AE=-BD,求证：BD是ZABC的角平分线. 2 （北京市竞赛试题） 解题思路：ZABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等 腰三角形. 【例 4】如图，在/XABC 中，ZBAC=ZBCA=44°, M、）gABC 内一点，使ZMCA=30°, ZA/AC=16°, 求/BMC度数. 解题思路：作等腰'ABC的对称轴（如图1）,通过计算，证明全等三角形，又44516—60。；可以 AB为一边，向点C所在的一侧作等边△ABN,连结CN, MN（如图2）；或以AC为一边，向点B所在的 一侧作等边aCN,连结BN（如图3）? 图2N 图2 N 【例5】如图，/^ABC是边长为1的等边三角形，HBDC是顶角ZBDC= 120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M,交AC于N,连结MN,形成一个三角形.求证：2MN 的周长等于2. （天津市竞赛试题） 解题思路：欲证ZVIMN的周长等于2,只需证明MN二BM+CN,考虑用补短法证明. 【例 6】如图，AABC 中，ZABC=46{\ D 是 BC 边上一点，DC=AB, ZDAB=21°,试确定ZCAD 的度数. （北京市竞賽试题） 解题思路：解本题的关键是利用DC=AB这一条件. 能力训练 A级 TOC \o "1-5" \h \z 如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为45°,那么这个等腰三角形的底角为 ? 如图，已知ZA=15°, AB=BC=CD=DE=EF,则ZFEM= ■ 如图，在等边5ABC的AC, BC边上各取一点P、Q,使AP=CQ, AQ, BP相交于点O,贝ij ZBOQ= ? 4?如图，在ZVIBC 中，ZBCA=90°, ZBAC=60°, BC=4,在 CA 的延长线取点 D, ^AD=AB.则 D. B两点之间的距离是 ? （第3题） （第3题） 如图，在厶ABC中，AB=AC, D为BC上一点，BF=CD, CE=BD,那么ZEDF等于（ A. 90°丄 ZA 2 C? I80°-ZAD. 45° C? I80°-ZA 2 6.如图，在ZiABC 中，ZACB=90(\ AC=AE. BC=BF,则ZECF=( 6. （安徽省竞赛试题） （安徽省竞赛试题） 第5題图 第5題图 △ABC的一个内角的大小是40°,且ZA=ZB, 140° B? 80° 或 100° C? 100° 或 140。 7. A. A.等边三角形 C.以e为底边的等腰三角形 第6题图 那么ZC的外角的大小是（ D. 80。或 140° （“希望杯”邀请賽试题） 三角形三边长s b, c满足丄—丄+丄=一!一 ,则三角形一定是（ a b c a-b + c B.以a为底边的等腰三角形 D?等腰三角形 （北京市竞赛试题） 如图，在ZvlBC中，AB=AC, D, E分别是腰AB, AC延长线上的点，且BD=CE,连结DE交 BC于G,求证：DG=EG? （湖北省竞賽试题） 如图，在AABC 中，ZBAC=90°, AB=AC. BE 平分ZABC, CE丄B￡,求证：CE=-BD? 2 （江苏省竞賽试题） 已知 RtAABC 中，AC=BC, ZC=90^