例说抛物线中的定点问题.docx

PAGE PAGE # 例说抛物线中的定点问题 浙江奉化奉港中学 罗永高 315500 近几年，抛物线中的定点问题频繁岀现在各类考试试题中，这类问题条件隐晦，变 量较多，计算量大.因而许多同学感觉到困难.其解决问题的关键是合理使用参数，巧妙 地消去参数，找岀与参数无关的点.下面给岀几个定点问题一般形式 . 1线段的中垂线问题 已知抛物线 y =2px(p o)上两动点A(x1, y1), B(x2, y2), 且人 x^ a, a为常数，求证：线段 AB的垂直平分线过定点. 2 2 证明设a(牛，yj,B(字，y2). TOC \o "1-5" \h \z 2p 2p 贝U AB 中点 M(a，上 生),kAB 二 2p ? 2 2 yi 十 y2 y<i + y2 y^ y2 a .AB的垂直平分线方程为 y 1 2 1 2 (x ). 2 2p 2 a 即(％ y2)(x-? -p) 2py =o. a 二 x - p = 0,且 y =0 . 2 a 二 AB的垂直平分线过定点(3 + p,0). 2切点弦所在直线问题 2 直线丨：x =my ? n与抛物线C : y =2px(p - 0)相离，动点P在直线I 上运动，过P作抛物线C的两条切线P代PB,切点分别为 代B两点，求证直线AB 过定点. 证明 设 A%, yj, B(X2,y2), P(x°, y°). 则切线PA方程为 y』=p(x - x1);切线 PB方程为 y2y = p(x x2). 把P(x°, y0)代入得 y”。= p(x° xj y2y° = p(x° x?). 直线 直线AB方程为 yy° = p(x° x). PAGE PAGE # 把 x0 = my0 n 代入得 y0 (y _ mp) _ pn _ px = 0, x = _n, y = mp. .直线AB过定点(「n,mp). 3抛物线内接三角形一边直线问题 MA,MB,点M （xo, yo）是抛物线y? = 2px上一个定点，过点 M作两弦 MA,MB, (1) 若kMA .kMB二m, m为非零常数，求证直线 AB过定点; (2) 若kMA ? kMB = n,n为非零常数，求证直线 AB过定点; (3) 若MA, MB倾斜角分别为：?，：，当:-,1 变化时；且：■ 为定值 二（0 ：：： V :::二），求证直线 AB过定点. 证明2 yi2y22yo设A（笳从B（t^dM（訂宀则kMA2pyo y 证明 2 yi 2 y2 2 yo 设A（笳从B（t^dM（訂宀 则kMA 2p yo yi 2p yo ,kAB y2 2p yi y2 直线AB的方程为 （y-yj 2p yi y2 2 yi (xW 即（％ y2）y —y〃2 _2px 二 0. 2p 2p yo yi yo y 二 m,. yi .y2 4p2 yo(yi y2) 2 yo. (2) 把（2）代入（1）得 2 (yi y2)(y yo) yo 4p2 _2 px = o, m PAGE PAGE # 2 yo 2p 2 yo 2p 2p,^-yo 即直线 AB过定点（——=,—y。）。 m 2p m 2p . 2p =n, yo yi yo y2 y^2^也(yi y2)込座 (3) （3）代入（1 ）得 （yi『2）（什壬坐）-込座 - 2 px = 0. 2 yo _ 」=空-yo. 2p 即直线 2 yo AB过定点（ 2p 2yo 2p -yo )? n ” 兀若八一 2 2p 2p yo yi yo y? 2 yo 由i可知AB恒过定点（=-2p,-yo）. 2p , ji若八— 2 L + L yo yi yo y? i_ 2p . 2p 二 ta 则 yo yi yo y? yi y2 = (2^ -yo)(yi y2) 如-y「4p2.(4) tan^ 把（4）代入（1）得 (yi y2)(y 空 y°) -4pyo 2 2 yo _ 4p _ 2px = O. yo 2p 2 yo t a n -2p, y 2p t an -yo. 2 yo 2 yo tan v -2p,严-y。）. 2 即直线AB恒过定点（匹 2p 引申探究 上面的定点问题在椭圆、双曲线同样适用，你能得到相应的结论吗?