海伦公式的几种另证及其推广.docx

海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设△ABC 中， a、 b、c 分别为角 A 、B 、 C 的对边， ha 为 a 边上的高， R、 r 分别 为△ABC 外接圆、内切圆的半径， p = 1 (a+b+c), 则 2 S△ ABC = 1 ah 1 ab×sinC = r p 2 a= 2 sinAsinBsinC = abc = 2R 4R = p( p a)( p b)( p c) 其中， S△ ABC = p( p a)( p b)( p c) 就是著名的海伦公式， 在希腊数学家海伦的著 作《测地术》中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的变形 S= p(p a)( p b)( p c) = = = = =  1 ( )( )( )( ) 4 a b c a b c a c b b c a 1 2 2 2 2 [( ) ][ ( ) ] 4 a b c c a b 1 2 2 2 2 2 2 ( 2 )[ ( 2 )] a b c ab a b c ab 4 1 2 2 ( ) 4 2 2 2 2 b a b c 4a 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 4 4 b a c b c a b c 2a  ① ② ③ ④ ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式 △ 1 ah S = a 入手，运用勾股定理推导出 2 海伦公式。