2018年九年级数学上册专题突破讲练相似中的“射影定理”试题新版青岛版.pdf

相似中的“射影定理” 1. 射影定理 直角三角形射影定理（又叫欧几里德（ Euclid ）定理）：直角三角形中，斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比 例中项。 如图， Rt△ABC中，∠ BAC＝90°， AD是斜边 BC上的高，则有射影定理如下： （1） AD 2 BD DC （2 ） AB 2 BD BC （3） AC 2 CD BC △ABC∽△ABD∽△DAC 注意： （1）在 Rt△ABC中，AD为斜边 BC上的高，图中共有 6 条线段： AC、BC、CD、AD、DB、 AB，已知任意两条，便可求出其余四条； （2 ）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条； （3）平方项一定是两相似三角形的公共边。 2. 定理推论 在△ ABC中， D是 BC边上的一点，且满足 BAD C ，则有 AB 2 BD BC 。 △ABD∽△CBA 例题 1 已知 CD是△ ABC的高， DE⊥CA，DF⊥CB，求证：△ CEF∽△ CBA。 解析： 根据△ CDE∽△ CAD和△ CDB∽△ CFD得 CD 2 CE CA 和 CD 2 CF CB 利用 等量代换和变形，即可证明△ CEF∽△ CBA。 2 答案： 证明：在 Rt△ADC中，由射影定律得， CD CE CA ， 在 △ 中， 2 Rt BCD CD CF CB ∴ CE CA CF CB CE CF ∴ CB CA ∵ ECF BCA ∴△ CEF∽△ CBA 点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。 做题时要善于发现相似， 找出等量关系，进行适当的变形。 例题 2 已知：如图， 为⊙ 的直径， 为弦， ⊥ 于 。若 ＝ ， 交⊙ AB O AC CD AB D AE AC BE O 于点 F，连接 CF、 DE。 求证： （1） AE 2 AD ? AB （2 ） ACF AED 解析： （1）根据 ＝ ，可以把结论转化为证明 2 AE AC AC AD ? AB ，只需连接 BC，证 明△ ACD∽△ ABC即可。 （2 ）根据（ 1）中的结论，即可证明三角形 ADE相似于三角形 AEB， 得到∠ ＝∠ ，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。 AED B 答案： （1）连接 ， BC ∵AB为⊙ O的直径， ∴∠ ＝90° ACB ∵ ⊥ ， CD AB ∴△ACD∽△ABC， AC AB ∴ AD AC ∵AC＝AE， 2 ∴ AE AD ?AB （2）∵ AE 2 AD ? AB ，∠EAD＝∠BAE， ADE AEB ∴△ ∽△