最新难点01_利用导数探求参数的取值范围(学案).docx

难点 01 利用导数探求参数的取值范围学案 利用导数探求参数的取值范围是近几年高考的重点和热点，由于导数是高等数学的基础，对于中学生来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点，成为每年高考的压轴题，因此也是学生感到头 疼和茫然的一类型题，究其原因，其一，基础知识掌握不够到位（导数的几何意义、导数的应用） ，其二，没有形成具体的解题格式和套路，从而导致学生产生恐惧心理，成为考试一大障碍，本文就高中阶段该类 题型和相应的对策加以总结 . 与函数零点有关的参数范围问题 函数 f ( x) 的零点， 即 f ( x) 0 的根，亦即函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点横坐标， 与函数零点有关的参数 范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与 x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围． 例 1 设函数 f ( x) 2ln x x2 .(I) 求函数 f ( x) 的单调递增区间 ; (II) 若关于 x 的方程 f (x) x2 x 2 a 0 在区间 [1,3] 内恰有两个零点，求实数 a 的取值范围 . 思路分析：（Ⅰ）求出导数，根据导数大于 0 求得 f ( x) 的单调递增区间 . （Ⅱ）令 g( x) f (x) x2 x 2 a . 利用导数求出 g(x) f (x) x2 x 2 a 的单调区间和极值点， 画 出其简图，结合函数零点的判定定理找出 a 所满足的条件，由此便可求出 a 的取值范围 . 与曲线的切线有关的参数取值范围问题 函数 y f ( x) 在点 x x0 处的导数 f ' ( x0 ) 就是相应曲线在点( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率， 即 k f ' ( x0 ) ，此 类试题先求导数，然后转化为关于自变量 x0 的函数，通过求值域，从而得到切线斜率 k 的取值范围，而切 线斜率又与其倾斜角有关，所以又会转化为求切斜角范围问题． y ex e x 3x( 1 x 1 ) 例 2. 若点 P是函数 2 2 图象上任意一点， 且在点 P 处切线的倾斜角为 ，则 的最小值是 ( ) 5 3 A． 6 B ． 4 C ． 4 D ． 6 思路分析：先求导函数 f ' ( x ) 的值域，即切线斜率范围，而 k tan （ 0 ），再结合 y tan x 的 图象求 的最小值 . 与不等式恒成立问题有关的参数范围问题 含参数的不等式 f ( x) g ( x) 恒成立的处理方法：① y f ( x) 的图象永远落在 y g (x) 图象的上方； ②构造函数法， 一般构造 F ( x) f (x) g ( x) ，F ( x)min 0 ；③参变分离法， 将不等式等价变形为 a h( x) ， 或 a h( x) ，进而转化为求函数 h( x) 的最值 . 3.1 参变分离法 将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则． f ( x) x a 0 ln x, a 例 3．已知函数 x ． (I) 讨论 f ( x) 的单调性； ( Ⅱ ) 若 f (x) x x2 在 (1 ， + ) 恒成立，求实数 a 的取值范围． 思路分析：（ I ）首先应明确函数 f (x) 的定义域为 (0, ) ，其次求导数，讨论①当 1 4a 0 时， ② 当 1 4a 0 时，导函数值的正负，求得函数的单调性 . （II ）注意到 f ( x) x x 2 ，即 x 2 a ln x 0 ，构造函数 g( x) x3 x ln x ，研究其单调性 x g( x) x3 x ln x 在 [1, ) 为增函数，从而由 g(x) g(1) 1 ，得到 0 a 1. 3.2 构造函数法 参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法． f ( x) 1 x2 ax ( a 1) ln x， a 1 例 4．已知函数 2 ． 求 f ( x) 的单调区间； (2) 若 g( x) (2 a) x ln x , f ( x) g( x) 在区间 [ e, ) 恒成立 , 求 a 的取值范围． f ( x) 的定义域为 (0, ) . f ' (x) x a a 1 x2 ax a 1 (x 1)(x 1 a) 思路分析： (1) x x x