自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析.ppt

* 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 * 自动控制理论 * 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 * 第四节非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 自动控制理论 如上所述，在线性系统中，稳定、渐近稳定和大范围渐近稳定三者是同义的。然而对于非线性系统，在大范围内不是渐近稳定的，有可能在局部区域内是渐近稳定的。基于非线性系统有可能具有局部稳定的特性，因此就有必要找出在原点周围最大邻域内满足稳定条件的李雅普诺夫函数。 对于非线性系统，至今还没有一种统一的构造李雅普诺夫函数的方法。下面介绍两种常用的判别非线性系统稳定性的方法，以作为对李雅普诺夫直接法的一个补充。 克拉索夫斯基（Ｋｒａｓｏｖｒｋｉｉ）法 设系统的状态方程为 式中，ｘ为ｎ维状态矢量；ｆ（ｘ）为ｎ维矢量函数，它的各个元素均为系统状态变量ｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）的非线性函数。假设系统的平衡状态为坐标原点，且ｆ（ｘ）对ｘ在整个状态空间是可求导的。系统的雅可比（Ｊａｃｏｂｉａｎ）矩阵为 * 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 * 自动控制理论 令李雅普诺夫函数为 如果存在一个正定对称矩阵Ｐ，能使对称矩阵： 为负定的，表示其平衡状态ｘｅ＝０是渐近稳定的。如果当‖ｘ‖ → ∞ 时，Ｖ（ｘ）→ ∞， 则其平衡状态ｘｅ是大范围渐近稳定的。 * 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 * 变量梯度法 自动控制理论 这种方法的基本思路是：如果给定系统是大范围渐近稳定的，那么能用来确定系统稳定性的梯度▽Ｖ是存在的，而李雅普诺夫函数Ｖ（ｘ）可由对▽Ｖ的曲线积分求得。最后根据Ｖ（ｘ）和Ｖ’（ｘ）的正负号特征，确定系统平衡状态的稳定性。 设系统的状态方程为 其平衡状态为状态空间的坐标原点，即当ｘｅ＝０时，ｆ（０）＝０。设李雅普诺夫函数为Ｖ（ｘ），它对时间ｔ的导数为 * 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 * 自动控制理论 展开为 * 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 * 自动控制理论 * 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 * 自动控制理论 ▽Ｖ（ｘ）中的系数ａｉｊ有些由旋度方程确定，有些是在满足Ｖ’（ｘ）为负定的条件下确定，个别系数甚至可选为０。分别求出系统的Ｖ（ｘ）和Ｖ’（ｘ）， 然后根据它们符号的特征，判别系统在零平衡状态的稳定性。 小 结 １）李雅普诺夫函数具有以下几个性质： ①是纯量函数。 ②是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。 ③对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。 * 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 * 自动控制理论 ２）李雅普诺夫第二法的优点不仅对于线性系统，而且对于非线性系统都能给出在大范围内稳定的信息。但是这种方法提供的只是系统稳定性的充分条件，而不是充要条件。因此，如果系统能满足稳定的条件，则其平衡状态一定是渐近稳定的；但是如果不满足稳定的条件，并不能作出系统不稳定的结论。 ３）对于非线性系统，一种李雅普诺夫函数常优于另一种李雅普诺夫函数，具体表现在稳定区域的大小和Ｖ’（ｘ）是负定，而不是负半定等。 ４）寻求李雅普诺夫函数常会碰到困难。如果一时找不到，这并不表示该系统一定是不稳定的，它只表明我们在试图判别系统稳定性时所选的Ｖ（ｘ）不合适而已。 ５）对于非线性系统，至今还没有一种统一的构造李雅普诺夫函数的方法，本章中所述的克拉索夫斯基法和变量梯度法仅作为对李雅普诺夫第二法在非线性系统中应用的一个补充。 * 第九章 状态空间分析法 第九章 状态空间分析法 第九章 状态空间分析法 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 * 第十章 李雅普诺夫稳定性分析 * 第 十 章 李雅普诺夫稳定性分析 自动控制理论 * * 自动控制理论 前面的第三～五章中已介绍了几种对线性定常系统稳定性判别的方法，如劳斯稳定判据、奈奎斯特稳定判据等。然而，这些方法均不适用于非线性系统和时变系统。为此，就需要寻求一种能适用于多种不同类系统稳定性的判别方法。 俄国学者李雅普诺夫（Lyarunov） 于1892年提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论，该理论适用于对多种系统稳定性的判别。 1）李雅普诺夫第一法又称间接法，它是通过求解系统的运动方程，然后根据其解的性质，即系统特征根的正负号，作出对相应系统稳定性的判别。 2）李雅普诺夫第二法是