第82炼求二项式的展开项.docx

第 82 炼 求二项式展开后的某项 一、基础知识： 1、二项式 a b n N n 展开式 n Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2 C nr an r br Cnn bn a b ，从恒等式中我们可以 发现这样几个特点 （1） a n n 1 b 完全展开后的项数为 （2）展开式按照 a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项， a,b 的指数呈此消彼长 的特点。指数和为 n （3）在二项式展开式中由于按 a 的指数进行降幂排列，所以规定“ + ”左边的项视为 a ， 右边的项为 b ，比如： n n x 的指数 x 1 与 1 x 虽然恒等，但是展开式却不同，前者按 1的指数降幂排列。如果是 n a b n 降幂排列，后者按 a b ，则视为 进行展开 （4）二项展开式的通项公式 Tr 1 Cnr an r br （注意是第 r 1 项） 2、二项式系数：项前面的 Cn0 , Cn1 , ,Cnn 称为二项式系数，二项式系数的和为 2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律） ， 所以在展开时有这样一个特征： 每个因式都必须出项， 并且只能出一项， 将每个因式所出的 对于 a n b 相乘，对于 an r br 项乘在一起便成为了展开时中的某项。 b 可看作是 n 个 a 意味着在这 n 个 a b 中，有 n r 个式子出 a ，剩下 r 个式子出 b ，那么这种出法一共 有 Cnr 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组 合问题的结果。 3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数 注：（ 1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。 二项式系数是展开式通项公式中的 Cnr ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由 r 决定。而系数是指展开并化简后最后项前 2x 5 面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如： 1 展开式 中第三项为 T3 3 ，其中 C52 为该项的二项式系数， 而 T3 C52 2x 3 80x3 C52 2x 12 12 化简后的结果 80 为该项的系数 （2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均 为 1 时（排除项本身系数的干扰） x 5 ，则展开后二项式系数与系数相同。例如 1 展开式 的第三项为 T3 C52 3 12 ，可以计算出二项式系数与系数均为 10 x 3、有理项：系数为有理数 , 次数为整数的项，比如 2x2 , 1 就是有理项，而 3 x, 5x 就不是 5x 有理项。 4、 a n n b 与 a b 的联系：首先观察他们的通项公式： a b n Cnr an r br n ： Tr' Cnr an r b r r ： Tr 1 a b 1 1 Cnr an r br 两者对应项的构成是相同的， 对应项的系数相等或互为相反数。 其绝对值相等。 所以在考虑 a b n a b n 系数的绝对值问题时，可将其转化为求 系数的问题 5、二项式系数的最大值：在 Cn0, Cn1 , ,Cnn 中，数值最大的位于这列数的中间位置。若 n 为 奇数（共有偶数项） ，则最大值为中间两个，例如 n 5 时，最大项为 C52 C53 ，若 n 为偶数 （共有奇数数项） ，则最大值为中间项，例如 n 6 时，最大项为 C63 证明：在 Cn0 ,Cn1 , ,Cnn 中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为 Cnr ，则有 n! n! 1 1 Cnr Cnr 1 r ! n r ! r 1 ! n r 1 ! r n 1 r Cnr Cnr 1 n! n! 1 1 r ! n r ! r 1 ! n r 1 ! n r r 1 r n 1 2 n 1 n 1 所以解得： 即 n 1 2 r r 2 2 所以当 n 为奇数时（ n 2k 1 ），不等式变为 k 1 r k ，即 r k 1或 r k 为中间项 当 n 为偶数时（ n 2k ），不等式变为 k 1 r k+ 1 ，即 r k 为中间项 2 2 6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要 计算所得，大致分为两种情况： n _ _ 型：不妨设项 Tr 1 的系数为 Pr 1 ，则理念与二项式系数最值类似，最大值首先要 Pr 1 Pr ，再根据通项公式代入解不等式即可 比相邻项大，所以有 Pr 1 Pr 2 n _ _ 型：其展开式的特点为项的符号有正有负，所以