第81课--平面与平面垂直.docx

第 81 课 平面与平面垂直 基本方法： 根据判定定理证明，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，本质上是证明线面垂直 . 一、典型例题 1. 如图，四棱柱 ABCD A B C D 的底面 ABCD 是平行四边形，且 AB 1,BC 2 ， ABC 60 ，E为BC的 1 1 1 1 中点， AA 平面 ABCD . 证明平面 A AE 平面 ADE . 1 1 1 答案：见解析 解析：依题意 BE EC 1 BC AB CD 1 ， ABC 60 ， 2 ∴ ABE 是正三角形， AEB 60 ， CED CDE 1 180 ECD 30 ， 2 AED 180 CED AEB 90 ， DE AE ， AA1 ⊥平面 ABCD ， DE 平面 ABCD ， DE AA1 ， AA1 AE A， DE 平面 A1AE ， DE 平面 ADE ， 平面 AAE 平面 ADE. 1 1 1 2. 如图所示的几何体中， 底面 ABCD 是菱形， PA 底面 ABCD ， ED PA ，且 PA 证明：平面 PAC 2ED ， 平面 PCE . 答案：见解析 解析：连接 BD ，交 AC 于点 O ，设 PC 中点为 F ，连接 OF ， EF . 因为 O， F 分别为 AC ， PC 的中点，所以 OF PA，且 OF 1 PA ， 2 因为 DE PA ，且 DE 1 PA ，所以 OF DE ，且 OF DE . 2 所以四边形 OFED 为平行四边形，所以 OD EF，即 BD EF. 因为 PA 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，所以 PA BD . 因为 ABCD 是菱形，所以 BD AC .因为 PA AC A ，所以 BD 平面 PAC . 因为 BD EF ，所以 EF 平面 PAC . 因为 FE 平面 PCE ，所以平面 PAC 平面 PCE . 二、课堂练习 1. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PC 底面 ABCD ， AB ∥ DC ， ADC 90，AB 2AD 2DC . 求证： 平面 PAC 平面 PBC . 答案：见解析 解析：∵ PC 底面 ABCD ， AC 面 ABCD ，∴ PC AC ， 设 AD DC a ，则 AB 2a ， AC 2a ， 又 DAC BAC 45 ，所以 CB 2 AB 2 AC2 2 AB AC cos BAC 2a 2 ， 所以 AC2 BC 2 4a 2 AB2 ，所以 ACB 90 ，即 BC AC ； BC PC C ，所以 AC 面PBC， 而 AC 面 PAC ，所以平面 PAC 平面 PBC . 2. 在三棱柱 ABC A B C 中， CA CB ，侧面 ABB A 是边长为 2 的正方形，点 E, F 分别在线段 AA,AB 上， 1 1 1 1 1 1 1 1 且 AE 1 , A1F 3 , CE EF . 证明：平面 ABB1 A1 平面 ABC . 2 4 答案：见解析 解析：取线段 AB 中点 M ，连接 EM . 在正方形 ABB A 中， AM 1,A E 3 ， 1 1 1 2 在 Rt EAM 和 Rt FAE中， AE AM 2 ， 1 A1F A1E 3 又 EAM FA1E π，所以 Rt EAM Rt FA1E ，∴ AEM A1FE ， 2 从而 AEM A1 EF A1FE A1 EF π π EM ， ，所以 FEM ，即 EF 2 2 又 EF CE,ME CE E，所以 EF 面CEM . CM 面CEM ， CM EF， 在等腰三角形 CAB 中， CM AB ，又 AB 与 EF 相交， ∴ CM 面 AA1B1B ， CM 面 ABC ，∴面 ABB1 A1 面 ABC . 三、课后作业 1. 如图：在五面体 ABCDEF 中，四边形 EDCF 是正方形， ADE 90 ，证明：平面 ABCD 平面 EDCF . 答案：见解析 解析：因为 AD DE ， DC DE ， AD ， CD 平面 ABCD ，且 AD CD D ， 所以 DE 平面 ABCD . 又 DE 平面 EDCF ，故平面 ABCD 平面 EDCF . 2. 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 中， E 是 AC 中点，求证：面 BEC1 面 ACC1 A1 . 答案：见解析 解析：因为 ABC A B C 是正三棱柱，所以 AA 面ABC， 1 1 1 1 BE 面 ABC ，所以 AA1 BE ； 又 ABC 是正三角形， E 是 AC 的中点