2019一道点阵的探索规律题目的四种解法.docxVIP

一道点阵的探索规律题目的四种解法 如下图是用棋子摆成的图案， 摆第一个图案需要 7枚棋子， 摆第二个图案需要 19枚棋子，摆第三个图案需要 37枚棋子， 按照这样的方式摆下去，则摆第 100个图案需要 枚 棋子。 【方法一】数棋子数，从棋子数的角度探索规律 7, 19, 37,…… 那么，将每一个图案棋子数列成数式如下： 第一个图案需要 7枚棋子， 7=1+3 X2 第二个图案需要 19枚棋子， 19=7+12=1+3 X 2+3 X 4 第三个图案需要 37枚棋子， 37=19+18=1+3 X 2+3 X4+3 X 6 第100个图案需要棋子数为： 1+3 X 2+3 X 4+3 X 6+ …+3 X 200 =1+3 X( 2+4+6+ …+200) =1+3 X 202 X 50 =30301 第n个图案需要棋子数为： 2 当 n=100 时，上式 =3X 100 +3 X 100+ 仁30301 所以，摆第100个图案需要 30301 枚棋子 【方法二】 第一种思路：数棋子数，第二个图案比第一个图案多 12枚 棋子，第三个图案比第二个图案多 18个，……观察到图案都是 正六边形，猜想到 12=6 X 2,18=6 X 3, ……每一个图案比前一 个图案的棋子数多 6的自然数倍。 第二种思路：观察点阵，每一个图案比前一个图案多一圈， 先来单独研究点阵外面的一圈： 观察点阵的棋子数分别是 6, 12 , 18,……6n. 那么，将每一个图案棋子数列成数式如下： 第一个图案需要 7枚棋子， 7=1+6 X 1 第二个图案需要 19枚棋子， 19=7+12=1+6 X 1+6 X 2 第三个图案需要 37枚棋子， 37=19+18=1+6 X 1+6 X 2+6 X 3 第100个图案需要棋子数为： 1+6 X 1+6 X 2+6 X 3+ …+6 X 100 =1+6 X(1+2+3+…+100) =1+6 X 5050 =30301 第n个图案需要棋子数为： 当 n=100 时，上式 =3X 1002+3X 100+ 仁30301 所以，摆第100个图案需要 30301 枚棋子。 【方法三】“分块计数法”，现将点阵分割成小块。第一 个图案每2枚棋子画一块，可以分割成 3块加1枚棋子，第二 个图案每3枚棋子画一块，可以分割成 6块加1枚，第三个图 案每4枚棋子画一块，可以分割成 9块加1枚，分割图形如下 图所示（分割方法不唯一，只要满足每一块的棋子数目相同即 可）： 那么，将每一个图案棋子数列成数式如下： 第一个图案需要 7枚棋子， 7=1+2 X 3 （每2枚一块，3块加1） 第二个图案需要 19枚棋子， 19=1+3 X 6 （每3枚一块，6块加1） 第三个图案需要 37枚棋子， 37=1+4 X 9 （每4枚一块，9块加1） 第100个图案需要棋子数为: 1+101 X 3 X 100=30301 第n个图案需要棋子数为： 2 当 n=100 时，上式 =3X 100 +3 X 100+ 仁30301 所以，摆第100个图案需要 30301 枚棋子。 【方法四】 观察点阵发现关于中间一行上下对称，所以棋子数（点数）可 以是上下点数与中间一行点数的和。上下部分的点数分布特点 是：第一个行的点数是图案序号加1 是：第一个行的点数是图案序号加 1，然后顺次多一个点，最 后加到图案序号的 2倍，中间一行的点数的特点是连续的奇数。 那么，将每一个图案棋子数列成数式如下： 第一个图案需要 7枚棋子， 7=2 X2+3 第二个图案需要 19枚棋子， 19= (3+4) X 2+5 第三个图案需要 37枚棋子， 37= (4+5+6) X 2+7 第100个图案需要棋子数为： (101 + 102+…+200) X 2+ (2 X 100+1 ) = ( 100+1 + 100+2+… + 100+100 ) X 2+201 =(100 X 100+1+2+…+100 ) X 2+201 =30301 第n个图案需要棋子数为： (n+1+ n+2+…+2n) X 2+ ( 2n+1) =(n+n+ …+n+1+2+3+ …+n) X 2+ ( 2n+1) 2 =(n +1+2+3+…+n ) X 2+ ( 2n+1) 2 =2n +n (n+1) + (2n+1) 2 =3n +3n+1 当 n=100 时，上式 =3X 1002+3 X 100+仁30301 所以，摆第100个图案需要 30301 枚棋子。