巧用辅助圆,妙解几何题.docx

巧用协助圆，妙解几何题 在一些数学题中， 看似与圆毫无关系可是用常规的解题方法却无法解决问题， 而通过题 中的某些条件结构协助圆， 运用圆的知识进行解答， 往往就会使题目简单化， 进而使难题迎 刃而解 .本文结合一些实例，探析怎样巧用协助圆妙解几何题 . 一、几何问题中的求线段长度 求线段的长度是初中数学比较常有的问题 .该问题的常规解法是通过做垂直线建立直角 三角形进而运用勾股定理或是巧用面积公式 .可是在一些问题中，通过直接作出垂线，往往 会使图形更为复杂，进而不能成功解题 例 1 如下图，在四边形 ABCD 中， AD // BC ，已知 BC CD AC 23， AB6.则BD . 解析 通过题干中的条件 BC CD AC ，我们能够想到以 C 为圆心， BC 为半径作 圆.根据圆的性质 :直径对应的圆周角为直角，能够延伸 BC 交于⊙ C 于点 E ，连结 DE ，如 图所示，此时 V BDE 为直角三角形 . Q AD // BC ， AB DE 6 ，由勾股定理得 BD 42 BD. 点拨 根据题干中的线段相等，进而建立协助圆，接着利用圆的性质进行解题 .其中需 要注意的是，虽然协助圆能做出，可是要想解题，就要对圆的性质有一个深刻的理解 . 二、几何问题中的求角的度数 求角的度数问题一般都是以三角形为载体， 该问题的常规解法是利用三角函数的知识去 解答，可是由于初中数学只学习了一些特殊的三角函数值且在直角三角形的载体中 .当碰到 一般的三角形，此时学生往往会无计可施 例 2 如下图，在VABC中，其中 AB AC ， BD是 ABC的平分线， BD AD BC，则 A . 解析 由题意得，本题要求的是 A ，由于本题见告随意一个角的大小且 V ABC 也不 是直角三角形，因此运用三角函数的知识是很难解答该题的 .由题干中 BD 平分 ABC ，可 精选文库 得 ABD DBC .作 V ABC 的外接圆，如下图 .根据圆的性质可得， AD DE .因为四 边形 ABED 为内接四边形， 所以 ABC EDC C，所以2 C DEB ，DE EC . 因为BD AD BC BE EC且AD DE EC ， 所 以 BE BD . 因 为 DEB BDE 2 C ， 在 VBDE 中 ， DEB BDE DBE 180 ， 即 4 1 C 180 ， 得 C 40 .在 VABC 中， A ABC C 180 ， 得 C 2 A 100. 点拨 本题是根据角平分线进而想到画出三角形的外接圆， 然后找出各角之间的关系进 行解答的 .因此，在求解角的度数时，要充足运用协助圆，找出相等的角，最后通过运用三 角形内角和为 180 列出式子求解 .此类题型的难点在于，怎样画出协助圆. 三、几何问题中的求最值 求最值的问题在中考取是常有问题， 其一般的思路就是设未知数， 然后寻找关系列出函数表达式，即可解答出 .虽然解题思路清晰，可是此类题型的难点就是在怎样将条件整合起 来，找出其之间的关系， 例 3 如下图， 在 RtV ABC 中， BAC 30 ， AB 2 3 ，动点 P 、Q 分别在 AB 、 AC 上， CPQ 90 ，则 CQmin . 解析 经过审题后，感觉 CQ 就是独立的，无法向已知条件上靠，唯一能够用的就是 CPQ 90 ，可是无法运用勾股定理，因为三条边都是未知的 .可是通过仔细审题，从条 件 CPQ 90 出发，能够想到圆的直径对应的圆周角为直角此时能够试试看，看画出辅 助圆对解题有无帮助 .通过图能够看出，要想 CQ 最小， AB 与⊙ O 要相切 .此时就能够根据 OP AB ， OP OC ， 可 得 APQ 30 ， 此 时 设 PQ OQ OP OC r ， 3r AC cos30 gAB 3 ，解得 r 1，所以 CQmin 2 . 点拨 根据题干中条件画出协助圆，借助圆的性质 :圆心到切点之间的线段最短是解答 本题重点，可见协助圆对题目的综合剖析起了很大的作用 .其中需要特别注意的是，当题中 -- 2 精选文库 给出直角时不能单单的只想到勾股定理也要联想到圆 . 综上所述， 在解答几何问题时， 如若发现运用常规方法不能解决问题或是解决过程比较 繁琐， 此时能够通过仔细审题， 挖掘题干中与圆有联系的条件， 进而做出协助圆进行剖析解 题 .由于做出协助圆的重点就是善于捕捉题干的细节之处，这对学生的要求比较高，因此学生要在以后的学习中勤总结 . -- 3