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数学物理方法习题解答
一、复变函数部分习题解答
第一章习题解答
1、证明Rcz在z平面上处处不可导。
证明: 令 Rez = i/+zv。Rez = x I u = 0。
du dv du dv
—=1 , — = 0 , — N — o dx dy dx dy
F是〃与、,在z平面上处处不满足C-R条件,
所以Rcz在z平面上处处不可导o
2、试证/(Z)=|Z|J仅在原点有导数。
证明:令 f(z) = u+iv o f(z) = \^ =x2 + y2 :. u = x2 + y2,v=Q o
d\y
d\y _ dv dx dy
所以除原点以外,以不满足C-R条件。而票,票,中在原点 ox oy dx oy
连续,且满足C-R条件,所以/(z)在原点可微。
丝+j色】=[丝T?竺]| =0o dx dx丿同〔dy 今丿辰
v-0
或:广(0)= limlim(Az)* =nm(Ar-/Ay) = 0 o
Az X—。 aILo
|z+&「+|z「12
|z+&「+|z「
12、「l =临"+&"
上项 AZ Ac-H)
Az =如心专公
【当g",券『与趋向有关,则上式中
Az |Az|
3、设/(z) =可微。一K?
3、设/(z) =
可微。
一K?— [,证明/(z)在原点满足C-R条件,但不
Z—U
0
证明:令f(z)=“(勺)+沙(矽),则
“(x, y)= x2 + y2
0
/ + V2 * 0x2 + y2=O
x2 + y J 0
x2 + y2=O
叩 0,0) = lim"3°i(°'°)=lin:
io r x
/(。,。)=阮“(°?"(°'°)=1血斗=-】;
T y 丄一。)技
睥。)=|"、'°)一皿°)5低=1
D r x-4>
vv(0.0) = hn/,(aV)-V(Q-Q,=hm4 = lo y—0 y X->() y5
??./(z)在原点上满足C-R条件。
但宀5涪苦涪
令y沿y=kx趋于0,则 依赖于A,?”⑵在原点不可导。
4、若复变函数/(z)在区域。上解析并满足下列条件之一,证明其在区域。上
必为常数。
(1) f(z)在区域O上为实函数:
r(z)在区域。上解析;
Re/(z)在区域。上是常数。
证明:(1)令 f(z) = u(x,y)+iv(x,y)c
由于/'(z)在区域。上为实函数,所以在区域D ±. v(a.y) = 0 0
V/(z)在区域。上解析。由C-R条件得
TOC \o "1-5" \h \z du dv A du dv 八
dx dy dy dx
二在区域Q上〃 W)为常数。从而/(z)在区域。上为常数。
令 /(Z)=心 y)+;v(x, y),则广⑵=心 V)一 汕3 y)。
?.?/(z)在区域。上解析。由C-R条件得
du dv du d\^ ,.、
—=—,—=——O
dx dy dy dx
又广(z)在区域。上解析,由C-R条件得
du a, du dv
dx dy dy dx
联立(1)和(2),得
du du dv d\f
—=—=—=—=0 o dx dy dx dy
在区域。上均为常数,从而/⑵在区域。上为常数。
令/(z)=?(x,y) + rp(x,y),则 Re/⑵=
由题设知“(Q)在区域。上为常数,?以喂=°。
又由C-R条件得,在区域。上
4-祟=。,当=* = °,于是傕区域。上为常数。
ox dy 方 ox
在区域O上均为常数,从而在区域。上,仁)为常数。
5、 证明个2不能成为z的一个解析函数的实部。
证明:令〃=或,竺+竺=0+2、= 2* ' 次dy
证明:
:.U不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为Z的一个解析函数的实
部。
6、 若z = 试证:
(1 ) sin z = sin xcosh y + icos xsinh y ;
(2 ) cos 2 = cos xcosh y—i sin xsinh y ;
(3 ) |sin z[ =sin2 x+sinh2 y ;
(4 ) cosz ?=cos2 x + sinh2 y o
证明:(1) sin z =sin(x + /y) =sinxcos(ry) + cosxsin(/>?)
?/ cos(iy) = coshy, sin(ry) =/sinh y >
/. sin z = sinxcosh y+ 7cosxsinh y。
(2 ) cosz = cos(x+iy) = cosxcos(jy)—sinxsin(iy)
?/ cos(iy) = cos
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