第十五章-极值和条件极值.docx

第十五章 极值和条件极值 第一节 极值和最小二乘法 1.（中下）求下列函数的极值： （1） （2） （3） （4） （5） 解析：（1）令, 则得,于是点为可能极值点 又,则,于是,从而此函数无极值. （2）令 则当点分布在上时，函数可能有极值 又,则,故需进一步判断 因对直线上的点均有,且恒成立 则函数在直线上各点取得极小值. （3）令 则得即在点处可能有极值 又 则在点,于是,此时函数无极值; 在点,于是,此时函数有极大值 （4）. 令 则得, 于是,故 因,则,于是,即在点处可能有极值 又 则,于是,即在点处函数有极大值. （5）令 则得 于是在点处可能取极值 又 在点处, 此时,于是函数有极大值； 在点处, 此时,于是函数有极小值. 2.（中）证明函数有无穷多个极大值,但无极小值. 解析： 令 因,则,于是 又,则即有 当为偶数时,;当为奇数时,，则可能的极值点为 又 则在点,此时,则此时函数有极大值. 在点,此时,则此时函数无极值. 综上可知，函数有无穷多个极大值，但无极小值. 3.（中）在已知周长为2p的一切三角形中求出面积最大的三角形. 解析： 设三角形的边长分别为,则,,于是 则 考虑函数 的极值均为的极值且当在点取得的极值不为0时,也在点取得极值 令 因,则解得,于是. 则当时,有极值即有极值 从而当时，面积最大且值为. 4.（中下）曲面在何处有最高点或最低点? 解析： 由,解得即在点可能有极值 又，则,于是 则此时函数有极小值,从而曲面有最低点 又当时，，故曲面无最高点. 5.（中上）已知，现测得一组数据，利用最小二乘法，求系数所满足的三元一次方程组. 解析： 由己知，得,为使总偏差达到最小，由极值的必要条件，有 即满足下列三元一次方程组： 6.（中）曲线在上要用什么样的直线来代替，才能使它的平方误差的积分 为极小的意义下为最佳近似? 解析： 为了选择使平方误差的积分达到极小，由极值的必要条件，有 令 则 于是曲线用直线来代替，可达到最佳近似的要求. 第二节 条件极值 1.（中下）求下列函数在所给条件下极值： （1）,若； （2）,若； （3）,若； （4）,若； （5）,若. 解析： （1）作函数 解函数组,得 又L 则,于是函数在处取得极大值；同理可得，函数在处取得极小值. （2）作函数 解方程组，得 又 则，于是函数在处取得极小值-3；同理可得，函数在处取得极大值3. （3）作函数 解方程组，得 又 则，于是函数在处取得极小值. （4）作函数 解方程组，得 又 则，于是函数在处取得极小值2. （5）作函数 解方程组，得 又 则在点处， 由，得,则在点处， 有 又由，得，则, ，于是 , 则函数在处取得极小值 同理可得，函数在,处取得极小值 函数在, , 处取得极大值. 2.（中上） 求在条件之下的最大值. 解析： 因，则最大时，也最大，反之亦然，故只需求的极大点，它也是的极大点 令 则解方程，得 则为可能极值点 又，故在处有极大值，即有极大值. 又当趋于边界时，，故的唯一极大点也是它的最大点. 3.（中）求椭圆的内接等腰三角形，使其底边平行于椭圆的长轴，而面积最大. 解析： 由于题中三角形内接于椭圆是等腰三角形，且底边平行于长轴 故其底边所对顶点必是短轴上椭圆的顶点(0,士2) 设三角形的另-一个顶点坐标为，则其内接等腰三角形底边长为，高为 等腰三角形三顶点坐标为，由椭圆的对称性，得 也是其顶点 则，点在椭圆上 又因此问题是求在限制条件上的最大值 作函数 则解方程，得 于是其顶点坐标为或 因此问题为实际问题，最大值必存在，则在或处其面积最大，其值为9. 4.（中）试求抛物线.上的点，使它与直线相距最近. 解:设所求点坐标为，则它到直线的距离为， 其中 直线将平面分为左、右两部分，左面，右面 而抛物线在右面部分，因而点到它的距离为 令 则解方程组，得 又 故为极小点，即点到直线的距离最近. 5.（中）抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离. 解析： 据题意，求距离在限制条件,的最值 即求在限制条件下的最值 作 则解方程组，得 于是 据问题的实际意义，最长、最短距离存在 则最长距离为原点到点的距离，为； . 最短距离为原点到点的距离，为. 6.（中）求空间一点到平面的最短距离. 解析： 设为平面上任一点， 则它与点的距离为其中满足 因，故最大最大 按题设，应求在条件Ax + By+Cz+ D= 0下的极值 令 则解方程组，得 于是 又当中有任一趋于oo时,,因此在 内必取最小值 则点到平面的最短距离为.