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专题20 应用题综合(函数、不等式、方程)
一.解答题(共45道)
1.(2021·浙江台州市·中考真题)电子体重科读数直观又便于携带,为人们带来了方便.某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤:制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R1, R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1=km+b(其中k,b为常数,0≤m≤120),其图象如图1所示;图2的电路中,电源电压恒为8伏,定值电阻R0的阻值为30欧,接通开关,人站上踏板,电压表显示的读数为U0 ,该读数可以换算为人的质量m,
温馨提示:①导体两端的电压U,导体的电阻R,通过导体的电流I,满足关系式I=;
②串联电路中电流处处相等,各电阻两端的电压之和等于总电压.
(1)求k,b的值;(2)求R1关于U0的函数解析式;(3)用含U0的代数式表示m;
(4)若电压表量程为0~6伏,为保护电压表,请确定该电子体重秤可称的最大质量.
【答案】(1);(2);I(3);(4)该电子体重秤可称的最大质量为115千克.
【分析】(1)根据待定系数法,即可求解;(2)根据“串联电路中电流处处相等,各电阻两端的电压之和等于总电压”,列出等式,进而即可求解;(3)由R1=m+240,,即可得到答案;
(4)把时,代入,进而即可得到答案.
【详解】解:(1)把(0,240),(120,0)代入R1=km+b,得,解得:;
(2)∵,∴;
(3)由(1)可知:,∴R1=m+240,
又∵,∴=m+240,即:;
(4)∵电压表量程为0~6伏,∴当时,
答:该电子体重秤可称的最大质量为115千克.
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用,熟练掌握待定系数法,是解题的关键.
2.(2021·江苏扬州市·中考真题)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明:①汽车数量为整数;
②月利润=月租车费-月维护费;
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是_______元;当每个公司租出的汽车为_______辆时,两公司的月利润相等;(2)求两公司月利润差的最大值;(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求a的取值范围.
【答案】(1)48000,37;(2)33150元;(3)
【分析】(1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金,再乘以10,减去维护费用可得甲公司的月利润;设每个公司租出的汽车为x辆,根据月利润相等得到方程,解之即可得到结果;
(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,同(1)可得y甲和y乙的表达式,再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况,列出y关于x的表达式,根据二次函数的性质,结合x的范围求出最值,再比较即可;
(3)根据题意得到利润差为,得到对称轴,再根据两公司租出的汽车均为17辆,结合x为整数可得关于a的不等式,即可求出a的范围.
【详解】解:(1)=48000元,
当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48000元;
设每个公司租出的汽车为x辆,由题意可得:,
解得:x=37或x=-1(舍),∴当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等;
(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,
则y甲=,y乙=,
当甲公司的利润大于乙公司时,0<x<37,
y=y甲-y乙==,
当x==18时,利润差最大,且为18050元;
当乙公司的利润大于甲公司时,37<x≤50,
y=y乙-y甲==,
∵对称轴为直线x==18,
当x=50时,利润差最大,且为33150元;
综上:两公司月利润差的最大值为33150元;
(3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,
则利润差为=,对称轴为直线x=,
∵x只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,
∴,解得:.
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,二次函数的图像和性质,解题时要读懂题意,列出二次函数关系式,尤其(3)中要根据x为整数得到a的不等式.
3.(2021·吉林长春市·中考真题)《九章算术》中记载,浮箭漏(图①)出现于汉武帝时期,
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