福建省泉州市惠安县2020-2021学年高二学科素养竞赛数学试卷.docVIP

gm PAGE 1 试题 绝密★启用前 数 学 试 题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 （考试时间：120分钟；满分：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2．已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波拉契数列定义如下：，（，），随着的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（ ） A. 20厘米 B. 19厘米 C. 18厘米 D. 17厘米 4．已知，，若可以表示成的形式，其中是正整数，则（ ） A.8 B.32 C.48 D.50 5．已知一个正三棱柱的底面边长为1，且两个侧面的异面对角线互相垂直，则它的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 6．等腰直角三角形中，斜边，一个椭圆以为其焦点，另一个焦点在线段上，且椭圆经过，两点，则该椭圆（焦点在轴上）的标准方程是( ) A． B． C． D． 7．已知点、在内，且，则等于( ) A． B． C． D． 8．设和分别表示的整数部分与小数部分，其中，函数的零点个数为( ) A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 9．已知复数（为虚数单位），则____________． 10．用三种颜色给立方体的八个顶点染色，其中至少有一种颜色恰好染四个顶点．则任一条棱的两个端点都不同色的概率是____________． 11．方程的满足的所有正整数解为____________．（以形式填写答案） 12．已知，，是平面上的任意三点，且，，，则表达式的最小值是____________． 三、解答题：本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（本题8分）设锐角三角形的内角对边分别为且， 外接圆半径为． （1）求角的大小； （2）求周长的取值范围． 14．（本题8分）已知数列中，． （1）求的通项公式； （2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 15．（本题9分）如图1，菱形中，，，于．将沿翻折到，使，如图2． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为线段上一点，若平面，求的值． 16．（本题9分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有12个十字路口现规划在每个路口处种植一棵杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为． （1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示： A市居民 B市居民 喜欢杨树 300 200 喜欢木棉树 250 250 是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性？ （2）表示所抽取的4个路口中种植杨树的路口个数，求的分布列以及数学期望； （3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证：． 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 ，其中． 17．（本题9分）设是椭圆：的右焦点，，分别为的右顶点、上顶点，，，是轴的正半轴上一点，，，三点的横坐标成等比数列． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线和交于，两点，求的内切圆的圆心的轨迹方程． 18．（本题9分）已知，． （1）若恒成立，求的最大值； （2）若，取（1）中的，当时，证明：． 答案 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分． BCCD BAAA 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． ，，， 三、解答题：本题共6小题，共52分． 13. 解：（1）由正弦定理得 由得，∴ ∴，又∴ ……………………3分 (2)记周长为， ……………………6分 ∵ ∴ ∴， 即的取值范围是，当时，即正三角形周长达到最大值. ……………………8分 14. 解：略 15. 解：（