7.4 几何法解空间角（精练）（解析版）2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）.docx

7.4 几何法解空间角（精练） 【题组一 线线角】 1.（2021·全国高三其他模拟（理））如图所示，直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点为，的中点为， ，，所以或其补角即为与所成角， 设，则，， 在，，故选：A 2．（2021·河南商丘市·高三月考（文））在正方体中，点分别在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，在平面内作，交BG于N，则(或其补角)即为与所成角．因为是正方体，不妨设， 则，由勾股定理得， 又,所以， 所以在中，， 即与所成角的余弦值为， 故选：C. 3．（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则异面直线CD与PB所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设AB＝1， 则PA＝2，AE＝＝， PE＝＝， BE＝2， PB＝＝ ∵CD与BE平行， ∴∠PBE是是直线CD与PB所成的角（或所成角的补角）， ∴直线CD与PB所成的角的余弦值为： ， 故选：C． 4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知点，分别为圆锥的顶点和底面圆心，为圆锥底面的内接正三角形，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示 连接，，延长交于点，取中点，连接，. 因为为正三角形，且为的外心，所以为的中点，故∥， 则即为异面直线与所成的角. 设，则，. 由题意可知为等边三角形﹐则， 在中，. 故选：B 5．（2021·辽宁高三其他模拟）如图是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知正方体的直观图如图： 连接，，则， 所以就是与所成的角，因为几何体是正方体，所以是正三角形， 所以与所成的角为：. 故选：C. 6．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点，连接， 为，中点，， 即为异面直线与成角， 设正四面体棱长为2，则, . 故选：A. 7．（2021·全国高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 8．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））如图，在正方体中，M，N分别为AD，AB的中点，则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点Q，连接， 则，或其补角即为异面直线D1M与DN所成角， 不妨设正方体的棱长为4， 则,，， 所以， 所以异面直线D1M与DN所成角的余弦值为. 故选：A. 9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））三棱锥所有棱长都为2，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接CF，取CF的中点O，连接EO，BO， ∵E是PC的中点， ∴EO∥PF， ∴（或其补角）是异面直线BE与PF所成的角. 设三棱锥P－ABC的所有棱长为2， 则, 则， 则， 在中，由余弦定理得 ， ∴异面直线BE与PF所成角的余弦值为. 10．（2021·广西南宁三中高三其他模拟（文））在正方体中，O是底面的中心，E为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 取的中点，连接， 如图所示，为的中点，，故即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为，则在中，，故，故选：B. 【题组二 线面角】 1．（2021·浙江温州市·温州中学高三其他模拟）已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且． （1）求证．平面平面． （2）若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连接，交于，底面为菱形，， 平面，平面，， ，平面， 平面，平面平面； （2）设，则 平面，即为直线与平面所成角， 即，， 平面，平面，， ，平面， 平面，平面平面， 即为直线与平面所成角， ，为菱形，，, 则. 2．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）在三棱锥中，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】⑴如图，作，连接， 由，