7.6 空间向量求空间距离（精练）（解析版）2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）.docx

7.6 空间向量求空间距离（精练） 【题组一 两点距】 1．（2021·全国高三专题练习）已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则，两点的最短距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点是平面内的直线上的动点， 可设点，由空间两点之间的距离公式， 得， 令， 当时，的最小值为， 所以当时，的最小值为，即两点的最短距离是， 故选：B. 2．（2021·乌鲁木齐市第二十中学高一期末）在空间直角坐标系中，已知点与点，则两点间的距离是______． 【答案】4 【解析】因为，， 所以，故答案为：. 2．（2021·全国高一课时练习）已知空间两点，，、，，，则、两点间的距离为_______． 【答案】 【解析】．故答案为：． 3．（2020·河北高三月考）如图，已知正方体的棱长为，点在棱上，且，是侧面内一动点，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】如图，作交于点，则. 因为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 所以的最小值为. 故答案为：． 4．（2018·安徽合肥市·合肥一中（理））棱长为的正方体如图所示，分别为直线上的动点，则线段长度的最小值为__________． 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 设 则 由. 所以 故答案为 【题组二 点线、线线距】 1,。（2021年广东）已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(AE,\s\up6(→))，则点P到AB的距离为(　　) A.eq \f(5,6) B.eq \f(\r(181),12) C.eq \f(10\r(30),6) D.eq \f(\r(5),6) 【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(1,0,0)＋eq \f(1,2)(0,1,0)＋eq \f(2,3)(0,0,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))). 又eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)， ∴eq \o(AP,\s\up6(→))在eq \o(AB,\s\up6(→))上的投影为eq \f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,4)， ∴点P到AB的距离为eq \r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))2)＝eq \f(5,6). 2．（2020·全国高三月考（理））如图，三棱柱中，侧面底面，是边长为2的正三角形，已知点满足. （1）求二面角的大小； （2）求异面直线与的距离； （3）直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）（3）存在点，其坐标为，即恰好为点 【解析】（1）侧面底面，又均为正三角形，取得中点，连接，， 则底面， 故以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为 取，可得 又平面的一个法向量为 由图知二面角为锐角，故二面角的大小为. （2）异面直线与的公垂线的方向向量，则 易得，异面直线与的距离 （3），而 又，点的坐标为 假设存在点符合题意，则点的坐标可设为 平面为平面的一个法向量， 由，得. 又平面， 故存在点，使平面，其坐标为，即恰好为点. 【题组三 点面、面面距距】 1．（2021·上海高三二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2． （1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小； （2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B1C的距离． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由于A1C1AC，所以∠CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角， 连接CB1，在AB1C中，由于，所以AB1C是等边三角形， 所以，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为． （2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、A1（2，2，0）、M（0，0，1）． 设平面A1B1C的法向量为，则． ∵，， 且， ∴，取v＝1， 得平面A1B1C的一个法向量为， 且， 又∵， 于是点M到平面A1B1C