初中奥数讲义_相似三角形的性质附答案.pdf

相似三角形的性质 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似 三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系． 1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； 2．相似三角形周长之比等于相似比； 3．相似三角形面积之比等于相似比的平方． 以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视 野． 例题求解 6 【例1】如图，梯形ABCD 中，AD∥BC(AD<BC)，AC、BD 交于点O，若S = S ，则△AOD 与△BOC △OAB 25 梯形ABCD 的周长之比是 ． (浙江省绍兴市中考题) AD S 思路点拨 只需求 的值，而题设条件与面积相关，应求出 AOD 的值，注意图形中隐含的丰富的 BC S BOC 面积关系． 注 相似三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用． 人类第一次运用相似原理进行测量，是2000 多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊著名学者， 有“科学之父”的美称．他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确 性．使教学具有不可动摇的说明力． 【例2】如图，在平行四边形ABCD 中．E 为CD 上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD 交 于点F，则S ：S ：S =( ) △DEF △EBF △ABF A．4：10：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．2：5：25 (黑龙江省中考题) 1 思路点拨 运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比． 【例3】如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3 ㎝， 试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的 边长． 思路点拨 要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC 的边上，先画 出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出． 注 本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方案，再通过比较、鉴别、 筛选出最佳的设计方案，问题虽简单，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路． 【例4】 如图．在△ABC 的内部选取一点P，过P点作3条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得 的3个三角形 、 、 的面积分别为4、9和49，求△ABC 的面积． t t t 1 2 3 (美国数学邀请赛试题) 思路点拔 图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择 相似比，注意等线段的代换．追求形式上的统一． 【例5】 如图，△ABC 中．D、E分别是边BC、AB上的点，且∠l＝∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ m m 5 ADC 的周长依次是 、m 、m ，证明： 1 2 ． m  1 2 m 4 (全国初中数学联赛试题) 2 思路点拨 把周长的比用相应线段比表示，力求统一，得到同—线段比的代数式，通过代数变形证明． 注 例 4 还隐舍着下列重要结论： (1)△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC ； DF IE HG (2) 1； AB AC BC DE H