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2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二(下)期末数学试卷
一、填空题(共12小题).
1.不等式>0的解集为 .
2.= .
3.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线的一个焦点,则m= .
4.直线3x+2y+5=0的一个法向量为(a,a﹣2),则实数a= .
5.已知eix=cosx+isinx,则e2022i对应的点位于复平面的第 象限.
6.空间一线段AB,若其主视图、左视图、俯视图的长度均为,则线段AB的长度为 .
7.若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则其母线与轴所成角的大小是 .
8.若直线mx+2ny﹣4=0(m,n∈R)始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y=0的周长,则mn的取值范围是 .
9.已知(x+)n展开式中的常数项是第五项,则系数最大项为第 项.
10.从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张(数字6的卡片可以倒过来9用),可以组成 个无重复数字的被4整除的四位数.
11.已知集合U={1,2,3,4,5},集合X1、X2、…、Xn为集合U的所有子集,从这些子集中任取两个不同的集合Xi、Xj,则Xi∩Xj中恰有三个元素的概率为 .
12.若不等式λ2sin2B﹣9sinBsinC+sinAsinC>0对于任意△ABC恒成立,则|λ|的最小值为 .
二、选择题
13.“x>1”是“<1”的( )条件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要条件 D.既不充分也不必要
14.空间中有四点A,B,C,D,其中=(2m,m,2),=(m,m+1,﹣5),且+=(5,,﹣3),则直线AB和CD( )
A.平行 B.异面 C.必定相交 D.必定垂直
15.一段时间内没有大规模集体流感的标志为“连续10天,每天新增病例不超过7人”,根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据,一定符合该标志的是( )
A.甲地:总体均值为3,中位数为4
B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0
C.丙地:中位数为2,众数为3
D.丁地:总体均值为2,总体方差为3
16.双曲线﹣y2=1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题,其中真命题的个数为( )
①f(x)是奇函数;
②f(x)的图象过点(,)或(,﹣);
③f(x)的值域是(﹣∞,﹣]∪[,+∞);
④函数y=f(x)﹣x有两个零点.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
三、解答题
17.已知四棱锥P﹣ABCD,底面为正方形ABCD,边长为4,E、F分别为AB、CD的中点,PE⊥平面ABCD,若PF与平面ABCD所成角为45°.
(1)求四棱锥P﹣ABCD的体积;
(2)求二面角P﹣BC﹣D的大小.
18.已知函数f(x)=sinωx+cosωx.
(1)当f(﹣)=0,且|ω|<1,求ω的值;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,a=,b+c=3,当ω=2,f(A)=1时,求bc的值.
19.无穷数列{an}满足:an+1an+3an+1+an+4=0且a1≠﹣2.
(1)求证:{}为等差数列;
(2)若a2021为数列{an}中的最小项,求a1的取值范围.
20.已知函数f(x)=x2﹣(a﹣2)x+a﹣3.
(1)若f(a+1)=f(2a),求a的值;
(2)若函数y=f(x)在x∈[2,3]的最小值为5﹣a,求实数a的取值范围;
(3)是否存在整数m、n使得关于x的不等式m≤f(x)≤n的解集恰为[m,n]?若存在,请求出m、n的值;若不存在,请说明理由.
21.已知椭圆Γ:=1(a>b>0),F1、F2分别为其左、右焦点.
(1)若T为椭圆上一点,△TF1F2面积最大值为4,且此时△TF1F2为等边三角形,求椭圆的方程;
(2)若椭圆焦距长为短轴长的倍,点P的坐标为(2a,a﹣b),Q为椭圆上一点,当|PQ|+|QF1|最大时,求点Q的坐标;
(3)若A为椭圆Γ上除顶点外的任意一点,直线AO交椭圆于B,直线AF1交椭圆于C,直线BF1交椭圆于D,若=,=,求λ+μ.(用a、b代数式表示)
参考答案
一、填空题
1.不等式>0的解集为 (﹣3,2) .
解:不等式>0可化为
,或,
解得﹣3<x<2,或?;
∴不等式的解集为(﹣3,2).
故答案为:(﹣3,2).
2.= 3 .
【分析】利用数列极限的运算法则求解即可.
解:==3,
故答案为:3.
3.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线的一个焦点,则m= 16 .
【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键,
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