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2020-2021学年上海市青浦区高二(下)期末数学试卷
一、填空题(共12小题).
1.已知复数z=,其中i为虚数单位,则|z|= .
2.抛物线x2=﹣y的焦点到准线的距离是 .
3.双曲线﹣=1的渐近线方程是 .
4.在(2x+)6的二项展开式中,常数项为 .
5.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,且,则该四棱锥P﹣ABCD的体积为 .
6.已知两条直线l1:ax﹣2y﹣3=0,l2:4x+6y﹣3=0,若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量,则a= .
7.已知抛物线y2=8x的焦点(a>0)的右焦点重合,则a= .
8.现有《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》各一本,分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学,每人一本,若甲乙都没有拿到《诗经》,且乙也没拿到《春秋》,则所有可能的分配方案有 种.
9.甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子,设甲的两颗骰子的点数分别为a与b,乙的骰子点数为c.则掷出的点数满足a?b=c的概率为 .(用最简分数表示)
10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日“置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.”意思是:球的体积V乘以16,除以9,再开立方,即为球的直径d,由此我们可以推测当时圆周率的近似值大小为 .
11.设z1,z2,z3为复数,给出下列四个命题:
①若|z1|=|z2|,则z1=±z2;
②若z1z3=z2z3,则z1=z2;
③若,则|z1z3|=|z2z3|;
④若,则z1=z3.
其中真命题的序号是 .
12.已知点P(0,2),圆O:x2+y2=16上两点M(x1,y1),N(x2,y2)满足,则|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值为 .
二、选择题
13.若(3+i)(2+xi)=y,其中x,y∈R,则复数x+yi在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
14.将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
15.已知直线l1:xsinα+y=0与直线l2:3x+y+c=0,则下列结论中正确的是( )
A.直线l1与直线l2可能重合
B.直线l1与直线l2可能垂直
C.直线l1与直线l2可能平行
D.存在直线l1上一点P,直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合
16.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是棱AB、BC的中点,过点D1,E,F的截面将正方体分割成两个部分,记这两个部分的体积分别为V1,V2,记V1<V2,则V1:V2=( )
A. B. C. D.
三、解答题
17.已知z1,z2是实系数一元二次方程的两个虚数根,且z1,z2满足方程2z1+(1﹣i)z2=3+5i.
(1)求z1和z2;
(2)写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程.
18.如图,圆锥的底面圆心为O,直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,且AB=2PO=2.
(1)求异面直线PC与OE所成的角的大小;
(2)求二面角P﹣AC﹣E的大小.
19.如图,某市在城市东西方向主干道边有两个景点A,B,它们距离城市中心O的距离均为,C是正北方向主干道边上的一个景点,且距离城市中心O的距离为4km,为改善市民出行,准备规划道路建设,规划中的道路M﹣N﹣P如图所示,道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km,其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km,线路NP段上的任意一点到O的距离都相等,以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
(1)求道路M﹣N﹣P的曲线方程;
(2)现要在M﹣N_P上建一站点Q,使得Q到景点C的距离最近,问如何设置站点Q的位置(即确定点Q的坐标)?
20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点坐标为F.
(1)若直线x=2被抛物线C截得的弦长为4,求抛物线C的方程;
(2)设E为点F关于原点O的对称点,P为抛物线上任意一点,求的取值范围:
(3)过焦点F作直线交抛物线于A、B两点,满足,过A作抛物线准线的垂线,垂足记为A,准线交x轴于C点,若,求p的值.
21.如图,已知椭圆Γ:的长轴长为4,焦距为,矩形ABCD的顶点A,B在x轴上,C、D在椭圆Γ上,点D在第一象限,CB的延长线交椭圆Γ于点E,直线AE与椭圆Γ、y轴分别交于点F、G,
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