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微专题 43 线性规划——作图与求解
一、基础知识
1、相关术语:
(1)线性约束条件:关于变量x ,y 的一次不等式(或方程)组
(2 )可行解:满足线性约束条件的解x ,y
(3 )可行域:所有可行解组成的集合
(4 )目标函数:关于x ,y 的函数解析式
(5 )最优解:是目标函数取得最大值或最小值的可行解
2 、如何在直角坐标系中作出可行域:
(1)先作出围成可行域的直线,利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点
(比如坐标轴上的点),以便快速做出直线
(2 )如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧:一条曲线(或直线)将平面分成若干区
域,则在同一区域的点,所满足不等式的不等号方向相同,所以可用特殊值法,利用特殊点
判断其是否符合不等式,如果符合,则该特殊点所在区域均符合该不等式,具体来说有以下
三种情况:
① 竖直线x a 或水平线y b :可通过点的横(纵)坐标直接进行判断
② 一般直线y kx b kb 0 :可代入 0,0 点进行判断,若符合不等式,则原点所在区域
即为不等式表示区域,否则则为另一半区域。例如:不等式x 2y 3 0 ,代入0,0 符合
不等式,则x 2y 3 0 所表示区域为直线x 2y 3 0 的右下方
③ 过原点的直线y kx k 0 :无法代入0,0 ,可代入坐标轴上的特殊点予以解决,或者
利用象限进行判断。例如:y x :直线y x 穿过一、三象限,二、四象限分居直线两侧。
考虑第四象限的点x 0,y 0 ,所以必有y x ,所以第四象限所在区域含在y x 表示的区
域之中。
(3 )在作可行域时要注意边界是否能够取到:对于约束条件F x ,y 0 (或F x ,y 0 )
边界不能取值时,在图像中边界用虚线表示;对于约束条件F x ,y 0 (或F x ,y 0 )
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边界能取值时,在图像中边界用实线表示
3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤
(1)根据约束条件,在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域
z
(2 )确定目标函数 在式子中的几何意义,常见的几何意义有:(设a,b 为常数)
a z
z
① 线性表达式——与纵截距相关:例如z ax by ,则有y x ,从而 的取值与
b b
z
动直线的纵截距相关,要注意 的符号,若b 0 ,则 的最大值与纵截距最大值相关;若b 0 ,
b
z
则 的最大值与纵截距最小值相关。
y b
z
② 分式——与斜率相关(分式):例如z :可理解为 是可行域中的点x ,y 与定点
x a
a,b 连线的斜率。
2 2
③ 含平方和——与距离相关:例如 z x a y b :可理解为 z 是可
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