角的平分线的性质(2).ppt

角平分线的性质 思考：到角的两边的距离相等的点是否在角平分线上，你可以证明吗？ 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。 由上面定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合. 例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知） ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 1、如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：PA平分∠BAC。 2、如图，已知BE⊥AC于E，CF ⊥ AB于F，BE和CF相交于点D，求证：（1）当点D在∠A的平分线上时，DB=DC；（2）当BD=DC时，点D在∠A的平分线上。 * * 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： A O B P E D 1 2 ∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. 交换定理的题设和结论得到的命题为： O A B D 角平分线的判定 A O B P D E C 定理： 用符号语言表示为： ∵PD=PE PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠1= ∠2 . 练一练 填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (___________________________________________) (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴__________ (_ ______________________________________________) A C D E B 1 2 ∠1= ∠2 DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 D E F A B C P M N A B C E P D A B C F E D *