高中数学必修2立体几何考题.docx

可得 可得 PQ＝ 高中数学必修 2 立体几何考题 13． 如图所示，正方体 ABCD －A1B1C1D 1 中， M、 N 分别是 A1B1， B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D 1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由． 解析： (1)由于 M、 N 分别是 A1B1 和 B1C1 的中点，可证明 MN ∥AC，因此 AM 与 CN 不 是异面直线． (2) 由空间图形可感知 D 1B 和 CC1 为异面直线的可能性较大，判断的方法可用 反证法． 探究拓展： 解决这类开放型问题常用的方法有直接法 (即由条件入手，经过推理、演算、 变形等 )，如第 (1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题， 这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两 直线是异面的． 解： (1)不是异面直线．理由如下： ∵M、 N 分别是 A1B1、 B1C1 的中点，∴ MN ∥A1C 1. 又∵ A1A ∥D 1D ，而 D 1D 綊 C 1C， ∴A1A 綊 C 1C，∴四边形 A1ACC 1 为平行四边形． ∴A1A∥AC，得到 MN ∥AC， ∴A、 M、 N、 C 在同一个平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线． (2)是异面直线．理由如下： 假设 D 1B 与 CC1 在同一个平面 CC 1D 1 内， 则 B∈平面 CC 1D 1， C∈平面 CC 1D 1. ∴BC?平面 CC 1D 1，这与在正方体中 BC⊥平面 CC 1D 1 相矛盾， ∴假设不成立，故 D 1B 与 CC1 是异面直线． 14．如下图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD －A1B1C 1D 1 中， M 为 AB 的中点， N 为 BB1 的中点， O 为面 BCC 1B1 的中心． (1)过 O 作一直线与 AN 交于 P，与 CM 交于 Q(只写作法，不必证明 )； (2)求 PQ 的长 (不必证明 )． 解析： (1)由 ON ∥AD 知， AD 与 ON 确定一个平面 α.又 O、C、 M 三点确定一个平面 下图所示 )． β(如 ∵三个平面 α， β和 ABCD 两两相交，有三条交线 OP、 CM、 DA，其中交线 DA 与交线 CM 不平行且共面． ∴DA 与 CM 必相交，记交点为 Q . ∴OQ 是 α与 β的交线．连结 OQ 与 AN 交于 P，与 CM 交于 Q， 故 OPQ 即为所作的直线． 14 (2)解三角形 APQ 3 . 15．如图，在直三棱柱 ABC －A1B1C 1 中， AB ＝BC ＝B1B ＝a，∠ ABC ＝90°， 2 2 D、 E 分别为 BB1、 AC1 的中点． (1)求异面直线 BB1 与 AC 1 所成的角的正切值； (2)证明： DE 为异面直线 BB 1 与 AC1 的公垂线； (3)求异面直线 BB1 与 AC 1 的距离． 解析： (1)由于直三棱柱 ABC －A1B1C 1 中， 面直线 BB1 与 AC 1 所成的角． 又 AB＝ BC ＝B1B＝ a，∠ ABC ＝90°， 所以 A1C 1＝ 2a， tan∠A1AC 1＝ 2， 即异面直线 BB1 与 AC 1 所成的角的正切值为 AA1 ∥BB1 ，所以∠ A1AC 1 就是异 2. (2)证明：解法一：如图，在矩形 ACC 1A1 中，过点 E 作 AA1 的平行线 MM 1 分别交 AC、 A1 C1 于点 M、 M 1 ，连结 BM， B1M 1 ，则 BB1 綊 MM 1. 又 D、 E 分别是 BB1、 MM 1 的中点， 可得 DE 綊 BM . 在直三棱柱 ABC －A1B1C 1 中， 由条件 AB ＝BC 得 BM ⊥AC， 所以 BM ⊥平面 ACC 1A1， 故 DE ⊥平面 ACC 1A1，所以 DE ⊥AC 1， DE ⊥BB1， 即 DE 为异面直线 BB1 与 AC 1 的公垂线． 解法二：如图，延长 C 1D、 CB 交于点 F ，连结 AF ，由条件易证 D 是 C 1F 的中点， B 是 CF 的中点，又