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专题二:圆
知识要点扫描归纳
一 圆的基本概念 (1)圆的定义:在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做 圆心,定长叫半径。
(2)确定圆的条件;
①已知圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;
②不在同一条直线上的三点确定一个圆;
③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆;
(3)点和圆的位置关系 设圆的半径为 r ,点到圆心的距离为 d,则点与圆 的位置关系有三种。
①点在圆外 d> r; ②点在圆上 d=r; ③点在圆内 d
<r ; (4)弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆 中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。 (5)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。 (6)等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同 圆或等圆中,能够互相重合的两条弧叫做等弧。
(7) 圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条 直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度,都能够 与原来的图形重合,因此圆还具有旋转不变性。
二 圆中的重要定理
1.垂径定理及其推论:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
推论 1:一条直线,如果具有①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(非直径) ;④
平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧.这五个性质中的任何两个性 质这条直线就具有其余的三条性质.
推论 2:圆的平行弦所夹的弧相等.
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论.
在同圆或等圆中,四组量:①两个圆心角;②两条弧;③两条弦;④两条弦心
图
图 1
距.其中任一组量相等,则其余三组量也分别相等.即在同圆或等圆中:
圆心角相等 所对 弧相等 所对 弦相等 所对 弦心距相等
3.圆周角
①定义:顶点在圆上,且两边与圆相交的角.
②定理及推论
定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对
的弧相等.
推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90o 的圆周角所对的弦是直
径.
推论 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角
三角形.
推论 4: 圆内接四边形定理: 圆的内接四边形对角互补, 并且任何一个外角都
等于它的内对角.
三、直线和圆的位置关系:
1 .直线和圆的位置关系的定义及有关概念
( 1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交(图 的割线.
(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切(图 这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离(图
1),这时直线叫圆
2)
3)
2 .直线和圆的位置关系性质和判定 ·O
·O ·O
如果⊙O 的半径 r ,圆心 O 割直线 l 的距离为 d ,那么( 1)直线 l 和⊙O 相交
d
1
3).
r (图
);(2) 直线 l和⊙O相切
图 2 图 2
d r (图 2);(3) 直线 l 和⊙O相离 d r (图
O四、切线的判定和性质:
O
·
(一)切线的判定
O
·
O
·
图 1 图 2
图 3
a b
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