2021-2022学年新人教B版高中数学选择性必修第一册课后提升训练：1-2-3 直线与平面的夹角【含答案】.docxVIP

1.2.3　直线与平面的夹角 课后篇巩固提升 基础达标练 1.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=2π3,则l与α所成的角为( 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2π3 B.π3 C.π6 解析线面角的范围是0,π2. ∵<a,n>=2π3,∴l与法向量所在直线所成角为 ∴l与α所成的角为π6 答案C 2.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为(　　) A.-1111 B.1111 C.-11011 解析设α与l所成的角为θ,则sinθ=|cos<a,n>|=|(-2,-3,3)·(4,1,1)| 答案D 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.π6 B.π3 C.π2 解析以D为原点建立空间直角坐标系,如图, 则DB=(1,1,0),DE=0,1,12, 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴DB·n=0,DE·n=0, 可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2), 而BA1=(0, ∴cos<BA1,n>=1+223=32,∴ ∴直线A1B与平面BDE成60°角. 答案B 4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为(　　 A.5π12 B.π3 C.π4 解析如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为12+(3)2　=2.故∠PAO=π 答案B 5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,6),则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为　　　　.? 解析设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0),AB=(1,3,6),所以cos<n,AB>=n·AB|n||AB|　=3t4|t|,因为<n, 答案7 6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为　　　　.? 解析设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示, 则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为DB1=(1,1,1).又B 则sin<DB1,BB =|D 答案3 7.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为　　　　　.? 解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图, 则C1(0,1,1),A32 又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0), 设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ. sinθ=|cos<n,AC1>|= ∴cosθ=1- 答案10 8. 如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点. (1)求直线A1C与DE所成角的余弦值; (2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值. 解以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz. (1)A1(0,0,a),C(a,a,0), D(0,a,0),Ea,a2,0,∴A1C=(a,a,-a DE=a,-a2,0, ∴cos<A1C, 故A1C与DE所成角的余弦值为1515 (2)连接DB1,∵∠ADE=∠ADF, ∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上. 又B1EDF为菱形,∴DB1为∠EDF的平分线, 故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1. 由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0), 得DA=(0,-a,0),DB1=(a,-a, ∴cos<DA,DB 又直线与平面所成角的范围是0,π2, 故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为33 9.(2019浙江,19) 如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点. (1)证明:CE∥平面PAB; (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 解(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB. 因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF=12AD 又因为BC∥AD,BC=12AD 所以EF∥BC且EF=BC, 即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF. ∵BF?平面PAB,CE?平面PAB, 因此CE∥平面PAB. (2)分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ, 因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为E