2021-2022学年新人教B版高中数学选择性必修第一册课后提升训练：1-2-4 二面角【含答案】.docxVIP

1.2.4　二面角 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知ABCD是正方形,E是AB的中点,将△DAE和△CBE分别沿DE,CE折起,使AE与BE重合,A,B两点重合后记为点P,那么二面角P-CD-E的大小为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.45° C.60° D.90° 答案A 2.如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若△PAB是边长为2的正三角形,且CO⊥AB,则二面角P-AC-B的正弦值是(　　) A.6 B.427 C.77 D 解析 如图,取AC的中点D,连接OD,PD, ∵PO⊥底面,∴PO⊥AC, ∵OA=OC,D为AC的中点,∴OD⊥AC, 又PO∩OD=O,∴AC⊥平面POD,则AC⊥PD, ∴∠PDO为二面角P-AC-B的平面角. ∵△PAB是边长为2的正三角形, ∴PO=3,OA=OC=1,OD=22,则PD=( ∴sin∠PDO=POPD 故选B. 答案B 3.正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1, 则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1). 于是AD=(0,1,0),取PD的中点E,则E0,12,1 ∴AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的法向量,AE是平面PCD ∴cos<AD,AE>= ∴平面PAB与平面PCD所成的角为45°. 答案B 4.请根据所给的图形,把空白之处填写完整. (1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答). 如图①,已知:a∥α,　　　　　　,? 求证:　　　　　.? (2)平面与平面垂直的性质定理的证明. 如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,　　　　,　　　　,? 求证:AB⊥β. 证明:在β内引直线　　　　,垂足为B,则　　　　是二面角　　　　的平面角,由α⊥β,知　　　　,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条　　　　直线,所以AB⊥β.? 解(1)已知:a∥α,a?β,α∩β=b, 求证:a∥b. 故答案为a?β,α∩β=b;a∥b. (2)如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B, α∩β=CD,AB?α,AB⊥CD, 求证:AB⊥β. 证明:在β内引直线BE⊥CD,垂足为B, 则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角, 由α⊥β,知AB⊥BE,又AB⊥CD, BE和CD是β内的两条相交直线,所以AB⊥β. 故答案为AB?α,AB⊥CD,BE⊥CD,∠ABE,α-CD-β,AB⊥BE,相交. 5.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为　　　　.? 解析取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系. 设BC=1,则A0,0,32,B0,-12,0,D32,0,0. 所以OA=0,0,32, BA=0,12,32,BD=32, 由于OA=0,0,32为平面BCD的一个法向量, 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z), 则n·BA 取x=1,则y=-3,z=1,所以n=(1,-3,1), 所以cos<n,OA>=55,所以sin<n,OA>=2 答案2 6.在空间中,已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy所成的角为45°,则a=　　　　.? 解析平面xOy的法向量n=(0,0,1),设平面α的法向量为u=(x,y,z), 则- 即3x=4y=az,取z=1, 则u=a3,a4 而cos<n,u>=1a29+a ∴a=125 答案12 7. 如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,求二面角C-BF-D的正切值. 解如图所示,设AC与BD交于O, 连接OF,以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz. 设PA=AD=AC=1,则BD=3, 所以O(0,0,0),B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,OC=0,12,0,易知OC为平面BDF的一个法向量. 由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可得平面BCF的一个法向量为n=(1,3,3),所以cos<n,OC>=217,sin<n,OC>=277,所以tan 8. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值. (1)证明因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD. 从