高二立体几何练习题(理科附答案).docxVIP

高2013级理科立体几何练习题答案 1.（重庆理19）如图，在四面体 ABCD中，平面ABC 平面ACD，AB BC， AD CD， CAD (I)若 AD , AB BC，求四面体ABCD的体积; （n ）若二面角C AB D为 （I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于 故由平面 ABC丄平面 ACD，知DF丄平面 ABC, 即DF是四面体 ABCD的面ABC上的高， ，求异面直线AD与BC所成角的余弦值 且 DF=ADsin30 °1 , AF=ADcos30 在 RtA ABC 中，因 AC=2AF= 23 AB=2BC , 2门5 * 4.15 \o Current Document BC , AB . 由勾股定理易知 5 5 故四面体ABCD的体积 V 1 Sabc DF 3 1 1 4 币 2 一 15 4 3 2 5 5 5 答（⑼图I （II）解法一：如答（19）图1，设G, H分别为边CD, BD的中点，则FG//AD , GH//BC , 从而/ FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角. 设E为边AB的中点，贝U EF//BC，由AB丄BC,知EF丄AB.又由（I）有DF丄平面 ABC, 故由三垂线定理知 DE丄AB. 所以/ DEF为二面角 C—AB— D的平面角， 由题设知/ DEF=60 AD a,则 DF AD sin CAD a 设 2 DEF 中, EF a 仝 .3 a, Rt DF cot DEF 在 2 3 6 GH 1BC EF 3 a. 从而 2 6 0, 0, 0, 0, 1 FH -BD 因 RtA ADEB RtA BDE,故 BD=AD=a，从而，在 RtA BDF 中， 2 1 a FG AD 又 2 2从而在△ FGH中，因FG=FH，由余弦定理得 2 2 2 FG2 GH 2 FH 2 cos FGH 2FG GH GH 2FG 因此，异面直线 AD与BC所成角的余弦值为 解法二：如答(19 )图2，过F作FM丄AC, 平面ABC丄平面ACD，易知FC, FD, FM两两垂直，以 F为原点，射线 FM, 为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系 F— xyz. 不妨设AD=2，由CD=AD，/ CAD=30 °，易知点A, C, D的坐标分别为 A(0, . 3,0), C(0,、3,0), D(0,0,1), …uur ?— 则 AD (0, 3,1). 交AB于M，已知 AD=CD， FC, FD分别 显然向量k (0,0,1)是平面abc的法向量. 已知二面角 C—AB — D 为 60°， 故可取平面 ABD的单位法向量 n (l,m, n) 使得 n, k 60°,从而 uuir 一 AD,有.3m n 0,从而m _3 6 由l2 m2 n2 1,得 l _6 3 设点 uuu B(x, y,0);由AB B的坐标为 uuu BC,n uuu AB,取 l _/6 3，有 2 x 「6—x 3 3, 彳(y 3) 解之得， 4.6 9 7 3 9 ：3(舍去) l 易知 3与坐标系的建立方式不合，舍去 467,3 uuu 4,6 2 3 B（斗，斗,0）. CB （十，4~，0）. 因此点B的坐标为 9 9 所以 9 9 从而 UULT UUU cos AD, CB UULT uuu AD CB-uuu_uuu-|AD ||CB| _3 故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为 6 2. （北京理 16) 如图，在四棱锥P ABCD中， PA 平面 ABCD , 底面 ABCD是菱形 AB 2, BAD 60o （I）求证： BD 平面 PAC; （H）若PA AB,求PB与AC所成角的余弦值； （川）当平面 PBC与平面PDC垂直时，求PA的长. 解（I）证明：因为四边形 ABCD是菱形， 所以AC丄BD.又因为PA丄平面 ABCD.所以PA丄BD.所以BD丄平面 PAC. [3 (H)设 ACABD=O.因为/ BAD=60 ° PA=PB=2,所以 BO=1 , AO=CO= 3 . 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系 O — xyz，贝y P (0,—力,2), A (0 ,—丘,0), B (1 , 0, 0), C (0，忑,0). 所以 PB (1, . 3, 2), AC (0,2 ? 3,0). 设PB与AC所成角为 ，则 cos PB AC |PB| |AC | 6 4 (川)由(n)知 BC ( 1, 3,0). 设 P ( 0,—、3 , t) (t0 )，则 BP 1, 3,t) 设平面PBC的法向量m (x, y,z),则BC m 0, BP m 0 x 3 ., y 0, 所以 x 3y tz