高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版文科）： 第3章 三角函数、解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 文 北师大版.docVIP

第五节　两角和与差及二倍角的三角函数 [考纲传真]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． (对应学生用书第48页) [基础知识填充] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β). 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α). [知识拓展] 1．有关公式的变形和逆用 (1)公式T(α±β)的变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． (2)公式C2α的变形： ①sin2α＝eq \f(1,2)(1－cos 2α)； ②cos2α＝eq \f(1,2)(1＋cos 2α)． (3)公式的逆用： ①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝eq \r(,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))). 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝eq \r(,a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tan φ＝\f(b,a))). [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　) (3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) (4)公式asin x＋bcos x＝eq \r(,a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－eq \f(\r(,3),2)　　　 B．eq \f(\r(,3),2)　　　 C．－eq \f(1,2)　　　 D．eq \f(1,2) D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，故选D．] 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝eq \f(4,3)，则sin 2α＝(　　) A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(2,9) C．eq \f(2,9) D．eq \f(7,9) A　[∵sin α－cos α＝eq \f(4,3)， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝eq \f(16,9)， ∴sin 2α＝－eq \f(7,9). 故选A．] 4．(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)＝eq \r(,3)sin x＋cos x的最小值为________. 【导学号 －2　[函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的最小值是－2.] 5．若锐角α，β满足(1＋eq \r(,3)tan α)(1＋eq \r(,3)tan β)＝4，则α＋β＝________. eq \f(π,3)　[由(1＋eq \r(,3)tan α)(1＋eq \r(,3)tan β)＝4， 可得eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(,3)，即tan(α＋β)＝eq \r(,3). 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq \f(π,3).] (对应学生用书第49页) 三角函数式的化简 　(1)化简：eq \f(s