高三理科数学二轮复习必考问题专项突破 14 用空间向量法解决立体几何问题.docVIP

考问题14　用空间向量法解决立体几何问题 　(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. (1)求证：BD⊥平面AED； (2)求二面角F - BD- C的余弦值． (1)证明　因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°， 所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°， 因此∠ADB＝90°，AD⊥BD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A， AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED. (2)解　连接AC，由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直， 以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF 所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设CB＝1， 则C(0,0,0)，B(0,1,0)， Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0))，F(0,0,1)， 因此eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(3,2)，0))，eq \o(BF,\s\up6(→))＝(0，－1,1)． 设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则m·eq \o(BD,\s\up6(→))＝0，m·eq \o(BF,\s\up6(→))＝0，所以x＝eq \r(3)y＝eq \r(3)z， 取z＝1，则m＝(eq \r(3)，1,1)． 由于eq \o(CF,\s\up6(→))＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量， 则cos〈m，eq \o(CF,\s\up6(→))〉＝eq \f(m·\o(CF,\s\up6(→)),|m||\o(CF,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)， 所以二面角FBDC的余弦值为eq \f(\r(5),5). 对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题． 空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性. 必备知识 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3 (2)线面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ＝λv?a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥ν?μ·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4 空间角的计算 (1)两条异面直线所成角的求法 设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则 cos φ＝|cos θ|＝eq \f(|a·b|,|a||b|)(其中φ为异面直线a，b所成的角)． (2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝eq \f(|e·n|,|e||n|). (3)二面角的求法 ①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角． ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图所示，二面角αlβ，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面有αlβ的大小为θ或πθ. 空间距离的计算 直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离． 点P到平面α的距离，d＝eq \f(|\o(PM,\s\up6(→))·n|,|n|)(其中n为α的法向量，M为α内任一点)． 必备方法 1．空间角的范围 (1)异面直线所成的角(θ)：0＜θ≤eq \f(π,2)； (2)直线与平面所成的角(θ)：0≤θ≤eq \f(π,2)； (3)二面角(θ)：0≤θ≤π. 2．用向量法证明平行、垂直问题的步骤： (1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系