数学破题36计 第34计 参数开门 宾主谦恭.docVIP

数学破题36计第34计 数学破题36计 ●计名释义 参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用. 在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩. 有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”. ●典例示范 【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线，与共线，且·＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值. 【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式. 幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了. 【解答】 如图，由条件知MN和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1）， 且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条 存在斜率，不妨设PQ的斜率为k. 【插语】 题设中没有这个k， 因此是“无中生有”式的参数. 我们其所以看中它，是认定它 不仅能表示|PQ|= f1(k)，还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图 【续解】 又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则 x1=， 从而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2=, 亦即|PQ|=. 【插语】 无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)=标志着主宾易位，问题已经发生了转程. 【续解】 (ⅰ)当k≠0时，MN的斜率为-，同上可推得， ｜MN｜=, 故四边形S＝|PQ|·|MN|=. 令u=k2+，得S=. 因为u=k2+≥2，当k=±1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以 ≤S2. 【插语】 以上为本题解答的主干，以下k=0时情况，只是一个小小的补充，以显完善之美.其实，以“不失一般性”为由，设“k≠0”为代表解答亦可.这时，可省去下边的话. 【续解】 (ⅱ)当k=0时，MN为椭圆长轴，｜MN｜＝2，|PQ|=，S=|PQ|·|MN|=2. 综合(ⅰ)(ⅱ)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为. 【点评】 参数k将F(x，y)=0的方程转化为关于k的函数，达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在“反客为主”中成为主角. 【例2】 对于a∈［-1,1］,求使不等式恒成立的x的取值范围. 【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x为主，讨论二次不等式？还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的. 【解答】 y=为R上的减函数，∴由原不等式得：x2+ax2x+a+1. 即a(x-1)+(x2-2x-1)0当a∈［-1，1］时恒成立. 令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1). 只须(-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】 求函数y=的最大值与最小值. 【解答一】 设tan=t，则y= 即t2(y-3)-2t+3y-3=0 ① ∵t=tan∈R, ∴关于t的方程①必有实数根, ∴ Δ= 4-4·3(y-3)(y-1)≥0. 即3y2-12y+8≤0，解得：2-≤y≤2+. 即ymax =2+，ymin =2-. 【解答二】 原式变形：sin x-y cos x=2y-3，sin (x+φ)=2y-3. ∵ |sin (x+φ)|≤1，∴≤|2y-3|. 平方化简得：3y2-12y+8≤0.(下略) 【点评】 本例中y是x的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数, 按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或 通过转化为关于t的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理 由是:这样解法简单，而且同样能达到目的. 【例4】 若cos2θ+2m sinθ-2m-20恒成立，试求实数m 【解答】 反客为主，不看成关于sinθ的二次式，而看成关于m的一次式. 原不等式即：2m(sinθ-1)1+sin2θ, 如sinθ=1，则01恒成立，此时m∈R. 如sinθ≠1，∵sinθ∈［-1,1］，只能sin