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2006年全国高中青年数学教师优秀课比赛
《点到直线的距离》教案
四川省成都市第七中学数学组 杜晓雯
【课题】 点到直线的距离
【教材】 全日制普通高级中学教科书(必修)第二册(上)
人民教育出版社
【授课教师】杜晓雯
教学目标
1.教材分析
⑴ 教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书(必修·人民教育出版社)第二册(上),“§7.3两条直线的位置关系”的第四节课,主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用.
⑵ 地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识,是从初中平面几何的定性作图,过渡到了解析几何的定量计算,其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识.对“点到直线的距离”的研究,为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础,具有承前启后的重要作用.
2.学情分析
高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识,具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力.根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃,但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点,本课采用类比发现式教学法.
3.教学目标
依据上面的教材分析和学情分析,制定如下教学目标.
⑴ 知识技能
① 理解点到直线的距离公式的推导过程;
② 掌握点到直线的距离公式;
③ 掌握点到直线的距离公式的应用.
⑵ 数学思考
① 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程,渗透算法的思想;
② 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程,培养学生的数学阅读能力;
③ 通过灵活应用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力.
⑶ 解决问题
① 通过问题获得数学知识,经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程;
② 由探索点到直线的距离,推广到探索点到直线的距离的过程,使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法.
⑷ 情感态度
结合现实模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学生的学习兴趣.
教学重点、难点
1.教学重点
⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析;
⑵ 点到直线的距离公式的应用.
2.教学难点
点到直线的距离公式的推导思路和算法分析.
三.教学过程
教学
环节
教 师 活 动
教 师 活 动
学 生 活 动
学 生 活 动
活 动
说 明
新课引入
新课引入
创设情境:以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例:当火车在高速行驶时,周围会产生负压,如果旅客离铁轨中心的距离小于2米5时,就可能被吸入车轮下发生危险.让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”,引发学习好奇心和研究兴趣.
现实模型:
①地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离
(图片欣赏)
②生活实例
(flash动画演示)
模 型
直 观
探 索 思 考
探 索 思 考
探 索 思 考
探 索 思 考
探 索 思 考
探 索 思 考
回顾旧知:在初中,“点到直线的距离”的定义是什么?
点到直线的距离公式的推导过程
(由特殊推广到一般、从具体推广到抽象)
问题1 如何求点到直线的距离?
教师:请同学们作出图象后,思考有哪些计算方法,结果是什么?
方法① 利用三角函数
解:过点作的垂线,垂足为
教师:由于点和直线的位置比较特殊,直角三角形较为明显,并且出现了特殊角,所以可以利用三角函数来解决问题.但如果直线位置不具特殊性,三角运算将较为繁杂,故此法具有一定的局限性.
方法② 利用定义
解:过点作的垂线,设垂足为
方法③ 利用函数的思想
解:设直线上的点,则
,
当时,取得等号,即点
教师:我们可将求点到直线的距离转化为两点之间的距离,再通过二次函数求最小值的方法解决本题.
强调:⑴点在直线上,故满足直线方程;
⑵当等号成立时,指明此时点的坐标,并与方法②得到的点的坐标进行比较.
方法④ 利用直角三角形的面积公式
教师:由于,所以我们还可以想到什么方法来计算呢?
教师:应该如何构造三角形呢?
如何添作辅助线是学生的一个思维难点,教师要强调:由垂直条件可以联想到三角形的高或直角三角形等知识,从而得到辅助线的添作方式.
解:过点作的垂线,交点为点
问题2如何求点到直线的距离?
(类比问题1的四种解法,让学生独立思考问题2.课堂上,只要求学生说明解题思路,而不要求解题过程.)
(以下有关例题2的解题过程仅供资料查阅,而不在课堂上讲解.)
方法① 利用三角函数
方法② 利用函数的思想
设点在直线上,则
当时,取
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