高三数学一轮（北师大版）基础巩固：第4章 第3节 三角恒等变形.docVIP

第四章　第三节 一、选择题 1．已知sinα－cosα＝eq \r(2)，α∈(0，π)，则sin2α＝(　　) A．－1　 B．－eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(2),2)　 D．1 [答案]　A [解析]　将sinα－cosα＝eq \r(2)两端同时平方得，(sinα－cosα)2＝2， 整理得1－2sinαcosα＝2， 于是sin2α＝2sinαcosα＝－1，故选A． 2．如果cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于(　　) A．－eq \f(a,2)　 B．eq \f(a,2) C．－a　 D．a [答案]　C [解析]　sin(α＋β)sin(α－β) ＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ) ＝sin2αcos2β－cos2αsin2β ＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－A． 3．已知tanα＝eq \f(1,2)，则eq \f(cos2α＋sin2α＋1,cos2α)等于(　　) A．3　 B．6 C．12　 D．eq \f(3,2) [答案]　A [解析]　eq \f(cos2α＋sin2α＋1,cos2α)＝eq \f(2cos2α＋2sinα·cosα,cos2α)＝2＋2tanα＝3.故选A． 4．(文)若cosα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sin(α＋eq \f(π,4))＝(　　) A．－eq \f(7\r(2),10)　 B．eq \f(7\r(2),10) C．－eq \f(\r(2),10)　 D．eq \f(\r(2),10) [答案]　A [解析]　由于α是第三象限角且cosα＝－eq \f(4,5)， ∴sinα＝－eq \f(3,5)， ∴sin(α＋eq \f(π,4))＝sinαcoseq \f(π,4)＋cosαsineq \f(π,4) ＝eq \f(\r(2),2)(－eq \f(4,5)－eq \f(3,5))＝－eq \f(7,10)eq \r(2). (理)若sinα＝eq \f(3,5)，α∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，则cos(α＋eq \f(5π,4))＝(　　) A．－eq \f(7\r(2),10)　 B．－eq \f(\r(2),10) C．eq \f(\r(2),10)　 D．eq \f(\r(2),10) [答案]　B [解析]　由α∈(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，sinα＝eq \f(3,5)可得cosα＝eq \f(4,5)， 由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋eq \f(5π,4))＝－eq \f(\r(2),2)(cosα－sinα)＝－eq \f(\r(2),10)，故选B． 5．4cos50°－tan40°＝(　　) A．eq \r(2)　 B．eq \f(\r(2)＋\r(3),2) C．eq \r(3)　 D．2eq \r(2)－1 [答案]　C [解析]　本题考查非特殊角三角函数的求值问题． 4cos50°－tan40°＝eq \f(4cos50°cos40°－sin40°,cos40°) ＝eq \f(4cos50°sin50°－sin40°,cos40°)＝eq \f(2sin100°－sin40°,cos40°) ＝eq \f(2sin?60°＋40°?－sin40°,cos40°) ＝eq \f(2sin60°cos40°＋2cos60°sin40°－sin40°,cos40°) ＝eq \f(\r(3)cos40°＋sin40°－sin40°,cos40°)＝eq \r(3). 6．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcosx在区间[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]上的最大值是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．eq \f(1＋\r(3),2) C．eq \f(3,2)　 D．1＋eq \r(3) [答案]　C [解析]　f(x)＝eq \f(1－cos2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)， 又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))， f(x)max＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，故选C． 二、填空题 7．(2014·陕西高考)设0θeq \f(π,2)，向量a＝(