高三数学一轮（北师大版）基础巩固：第5章 第3节 平面向量的数量积及其应用.docVIP

第五章　第三节 一、选择题 1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝eq \f(3,2)，则向量a，b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° [答案]　C [解析]　|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝a·b＋b2＝cosa，b＋1＝eq \f(3,2)，∴cosa，b＝eq \f(1,2)，即得a，b＝eq \f(π,3)，故应选C． 2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与a垂直，则λ＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 [答案]　B [解析]　由于(λa－b)·a＝λ|a|2－b·a＝10λ－10＝0，解得λ＝1，故选B． 3．若e1，e2是夹角为eq \f(π,3)的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于(　　) A．1 B．－4 C．－eq \f(7,2) D．eq \f(7,2) [答案]　C [解析]　依题意，e1·e2＝|e1||e2|coseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)， 所以a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－6＋2＋eq \f(1,2)＝－eq \f(7,2). 4．(2015·长沙模拟)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题： (1)若a·b＝a·c，则a＝0或b＝c； (2)若a＝(1，k)，b＝(－2,6)且a⊥b，则k＝eq \f(1,3)； (3)非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中所有真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]　若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，可得a＝0或b＝c或a⊥(b－c)，即命题(1)不正确； 若a＝(1，k)，b＝(－2,6)且a⊥b，则a·b＝－2＋6k＝0，得k＝eq \f(1,3)，即命题(2)正确； 非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则可得出一个等边三角形，且a与a＋b的夹角为30°，即命题(3)正确，综上可得真命题有2个，故应选C． 5．(2014·新课标Ⅱ)设向量a、b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 [答案]　A [解析]　本题考查平面向量的模，平面向量的数量积． ∵|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6. 联立方程解得a·b＝1，故选A． 6．(文)在△ABC中，(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→)))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝|eq \o(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　C [解析]　由(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→)))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝|eq \o(AC,\s\up6(→))|2得 (eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→)))·eq \o(AC,\s\up6(→))－|eq \o(AC,\s\up6(→))|2＝0， 即eq \o(AC,\s\up6(→))·(eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→)))＝0， 即eq \o(AC,\s\up6(→))·(2eq \o(BA,\s\up6(→)))＝0，故有eq \o(AC,\s\up6(→))⊥eq \o(BA,\s\up6(→)). (理)(2014·湖南十二校联考)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(eq \r(3)sinA，sinB)，n＝(cosB，eq \r(3)cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　) A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6) [答案]　C [解析]　m·n＝eq \r(3)sinAcosB＋eq \r(3)cosAsinB＝eq \r(3)sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B) 即eq \r(3)sinC＝1－cosC，所以sin(C＋eq \f(π,6))＝eq \f(1,2)， 又因为C为△ABC的内角，所以C＋eq \f(π,6)＝eq \f(5π,6)，即C＝eq \f(2π,3). 二、填空题 7．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝ [答案]　e