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eq \a\vs4\al\co1(考查函数零点区间的判断及方程根的问题, ?数形结合法?)
数形结合法:根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性作出正确的判断,习惯上也叫数形结合法.有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义,作出函数的图象或几何图形,借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等,综合图象的特征得出结论.图形化策略就是以数形结合为指导的一种解题策略.
图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的,用这种策略解题比直接计算求解更能抓住问题的实质、简捷迅速地得到结果.不过,运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉,否则,错误的图象会导致错误的选择.
【例17】? (2012·天津)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D
解析 法一 因为f(0)=1+0-2=-1,
f(1)=2+1-2=1,即f(0)·f(1)<0,
且函数f(x)在(0,1)内连续不断,故f(x)在(0,1)内的零点个数是1.
法二 设y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示,可知B正确.
答案 B
【例18】? (2012·天津)已知函数y=eq \f(|x2-1|,x-1)的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
解析 去掉绝对值转化为分段函数后,作出图象利用数形结合的方法求解.因为函数y=eq \f(|x2-1|,x-1)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x+1,x≤-1或x>1,,-x-1,-1<x<1,))根据图象易知,函数y=kx-2的图象恒过点(0,-2),所以两个函数图象有两个交点时,0<k<1或1<k<4.
答案 (0,1)∪(1,4)
【例19】? (2012·福建)对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2-ab,a≤b,,b2-ab,a>b.))设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是________.
解析 f(x)=(2x-1)*(x-1)
=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(?2x-1?2-?2x-1??x-1?,x≤0,,?x-1?2-?2x-1??x-1?,x>0,))
即f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x2-x,x≤0,,-x2+x,x>0.))
如图所示,关于x的方程f(x)=m恰有三个互不相等的实根x1,x2,x3,即函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,则0<m<eq \f(1,4).不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1,x2,x3.
当x>0时,-x2+x=m,即x2-x+m=0,∴x2+x3=1,
∴0<x2x3<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2+x3,2)))2,即0<x2x3<eq \f(1,4);
当x<0时,由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x2-x=\f(1,4),,x<0,))得x=eq \f(1-\r(3),4),
∴eq \f(1-\r(3),4)<x1<0,∴0<-x1<eq \f(\r(3)-1,4).
∴0<-x1x2x3<eq \f(\r(3)-1,16),∴eq \f(1-\r(3),16)<x1x2x3<0.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1-\r(3),16),0))
命题研究:1.以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点所在的区间.
2.以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系.
【押题13】 已知函数f(x)=2x+x,g(x)=x-logeq \f(1,2)x,h(x)=log2x-eq \r(x)的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( ).
A.x1>x2>x3 B.x2>x1>x3
C.x1>x3>x2 D.x3>x2>x1
答案: D [由f(x)=x+2x=0,得-x=2x,则其零点x1<0;由g(x)=x-logeq \f(1,2)x=0,得x=logeq \f(1,2)x,则其零点0<x2<1;由h(x)=log2x-eq \r(x)=0,得eq \r(x)=log2x,则其零点x3>1.因此x1<x2<x3.]
[押题14] 已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2?x+1?,x>0,,-x2-2x,x≤0,)
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