【教材分析与导入设计】高中数学必修5（人教a版）第二章 【新课教学过程1】2.3等差数列的前n项和 .docVIP

2.3　等差数列的前n项和 第一课时 推进新课 教师出示投影胶片1： 印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征. 陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段) 生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数. 师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？ ［合作探究］ 师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢? 生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了. 师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢? 生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是. 师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是： 1+2+3+…+21， 21+20+19+…+1， 对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序) 这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”. 现在我将求和问题一般化： (1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决) (2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn? 生1 对于问题(2)，我这样来求：因为Sn=a1+a2+a3+…+an， Sn=an+an-1+…+a2+a1， 再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq， 所以.(Ⅰ) 生2 对于问题(2)，我是这样来求的： 因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］， 所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+d, 即Sn=na1+ d.(Ⅱ) ［教师精讲］ 两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n,有利于我们的记忆. ［方法引导］ 师 如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行. 引导学生总结：这些公式中出现了几个量？ 生 每个公式中都是5个量. 师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法? 生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二). 师 当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差. ［知识应用］ 【例1】 (直接代公式)计算： (1)1+2+3+…+n； (2)1+3+5+…+(2n-1)； (3)2+4+6+…+2n； (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n. (让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答. 生 (1)1+2+3+…+n=；(2)1+3+5+…+(2n-1)= =n2；(3)2+4+6+…+2n= =n(n+1). 师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答) 生 (4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= -(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n. 生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n. 师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注