高考数学一轮复习名师学案（北师大版文科）： 第2章 函数、导数及其应用 第12节 导数与函数的极值、最值学案.docVIP

第十二节　导数与函数的极值、最值 [考纲传真]　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． (对应学生用书第34页) [基础知识填充] 1．函数的极值与导数 (1)极值点与极值 设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值． (2)极大值点与极小值点 ①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点； ②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点． (3)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 2．函数的最值与导数的关系 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [知识拓展] 1．对于可导函数f′(x)，f′(x)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定比极小值大．(　　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　　) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图2-12-1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　) 图2-12-1 A．1 B．2　　　　　 C．3　　　　　 D．4 A　[导函数f′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．] 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 C　[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)． 当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0， 则当x＝9时，y有最大值． 即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]　 4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　) A．－4 B．－2 C．4 D．2 D　[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增加的，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上是增加的． ∴f(x)在x＝2处取得极小值， ∴a＝2.] 5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________. 【导学号 8　[y′＝6x2－4x，令y′＝0， 得x＝0或x＝eq \f(2,3). ∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝－eq \f(8,27)， f(2)＝8，∴最大值为8.] (对应学生用书第35页) 利用导数研究函数的极值问题 角度1　根据函数图像判断极值 　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图2-12-2所示，则下列结论中一定成立的是(　　) 图2-12-2 A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) D　[由题图可知