高考理科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题三 第1讲　空间几何体的三视图、表面积与体积含答案.docVIP

第1讲　空间几何体的三视图、表面积与体积 [做真题] 题型一　三视图与直观图 1．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　) A．2eq \r(17)　　　　　　　　 B．2eq \r(5) C．3 D．2 解析：选B．由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为eq \r(MS2＋SN2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).故选B． 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　) 解析：选A．由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A． 3．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________． 解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则eq \f(\r(2),2)x＋x＋eq \f(\r(2),2)x＝1，解得x＝eq \r(2)－1，故题中的半正多面体的棱长为eq \r(2)－1. 答案：26　eq \r(2)－1 题型二　空间几何体的表面积与体积 1．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 解析：由题易得长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即eq \f(1,2)×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O-EFGH＝eq \f(1,3)×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)． 答案：118.8 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq \f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5eq \r(15)，则该圆锥的侧面积为________． 解析：如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.△SAB的面积为eq \f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq \f(1,2)·SA2·eq \r(1－cos2∠ASB)＝eq \f(\r(15),16)·SA2＝5eq \r(15)，所以SA2＝80，SA＝4eq \r(5).因为SA与底面所成的角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos 45°＝4eq \r(5)×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(10).所以底面周长l＝2π·AS′＝4eq \r(10)π，所以圆锥的侧面积为eq \f(1,2)×4eq \r(5)×4eq \r(10)π＝40eq \r(2)π. 答案：40eq \r(2)π 题型三　与球有关的切、接问题 1．(2019·高考全国卷Ⅰ )已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　) A．8eq \r(6)π B．4eq \r(6)π C．2eq \r(6)π D．eq \r(6)π 解析：选D．因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB， 因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE