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(1)理解排列、组合的概念.
(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
(3)能解决简单的实际问题.
1.排列
(1)排列的定义
一般地,从n个不同元素中取出个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数、排列数公式
从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.
一般地,求排列数可以按依次填m个空位来考虑:
假设有排好顺序的m个空位,从n个元素中任取m个去填空,一个空位填1个元素,每一种填法就对应一个排列,而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现.
根据分步乘法计数原理,全部填满m个空位共有种填法.
这样,我们就得到公式,其中,且.这个公式叫做排列数公式.
n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,这时公式中,即有,就是说,n个不同元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成.另外,我们规定1.
于是排列数公式写成阶乘的形式为,其中,且.
注意:排列与排列数是两个不同的概念,一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”,它是具体的一件事,排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.
2.组合
(1)组合的定义
一般地,从n个不同元素中取出个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数、组合数公式
从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.
,其中,且.这个公式叫做组合数公式.
因为,所以组合数公式还可以写成,其中,且.
另外,我们规定.
(3)组合数的性质
性质1:.
性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合,与剩下的个元素的组合是一一对应关系.
性质2:.
性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合,可以分为两类:第1类,取出的m个元素中不含某个元素a的组合,只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可,有个组合;第2类,取出的m个元素中含有某个元素a的组合,只需在除去a的其余n个元素中任取个后再取出元素a即可,有个组合.
考向一 排列数公式和组合数公式的应用
这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系,也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式,连乘形式多用于数字计算,阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.
典例1 求下列方程中的 x
(1)3A
(2)3A
即,化简得x2-19x+78
解得x1
∵x
∴原方程的解是x=
【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时,应先求出未知数的取值范围,再利用排列数公式化简方程或不等式,最后得出问题的解.
1.证明:mC
2.(1)解不等式A8
(2)求值C10
考向二 排列问题的求解
解决排列问题的主要方法有:
(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题,既可以从元素入手,也可以从位置入手,原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑,都要贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置.
(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列,同时要注意捆绑元素的内部排列.
(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.
(4)对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.
(5)若某些问题从正面考虑比较复杂,可从其反面入手,即采用“间接法”.
典例2 室内体育课上王老师为了丰富课堂内容,调动同学们的积极性,他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1,2,3,4,5,6,7,8.经过观察这8个同学的身体特征,王老师决定,按照1,2号相邻,3,4号相邻,5,6号相邻,而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏,有________种排法.(用数字作答)
【答案】576
3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有
A.1440种 B.720种
C.960种 D.480种
4.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数有
A.144个 B.120个
C.96个 D.72个
考向三 组合问题的求解
组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素,在解答时可用直接法,也可用间接法.用直接法求解时,要注意合理地分类或分步;用间接法求解时,要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义,做到不重不漏.
典例3 某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组
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