届高考数学（文科，通用）二轮复习突破练 高考压轴大题突破练（三）含答案.docVIP

高考压轴大题突破练(三) ——函数与导数(1) (推荐时间：70分钟) 1．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(a,x)(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)． (1)求函数F(x)的单调区间； (2)若以函数y＝F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤eq \f(1,2)恒成立，求实数a的最小值． 解　(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋eq \f(a,x)(x>0)， F′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(a,x2)＝eq \f(x－a,x2). ∵a>0，由F′(x)>0?x∈(a，＋∞)， ∴F(x)在(a，＋∞)上是增函数． 由F′(x)<0?x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a)上是减函数． 综上，F(x)的单调递减区间为(0，a)， 单调递增区间为(a，＋∞)． (2)由F′(x)＝eq \f(x－a,x2)(0<x≤3)，得 k＝F′(x)＝eq \f(x－a,x2)≤eq \f(1,2)(0<x0≤3)恒成立?a≥－eq \f(1,2)xeq \o\al(2,0)＋x0(0<x0≤3)恒成立． ∵当x0＝1时，－eq \f(1,2)xeq \o\al(2,0)＋x0取得最大值eq \f(1,2)， ∴a≥eq \f(1,2)，即实数a的最小值为eq \f(1,2). 2．已知f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若a≠0，求函数f(x)的单调区间； (3)若不等式2xln x≤f′(x)＋a2＋1恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴k＝f′(1)＝4，又f(1)＝3，∴切点坐标为(1,3)，∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0. (2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)， 由f′(x)＝0，得x＝－a或x＝eq \f(a,3). ①当a>0时，由f′(x)<0，得－a<x<eq \f(a,3). 由f′(x)>0，得x<－a或x>eq \f(a,3)， 此时f(x)的单调递减区间为(－a，eq \f(a,3))，单调递增区间为(－∞，－a)和(eq \f(a,3)，＋∞)． ②当a<0时，由f′(x)<0，得eq \f(a,3)<x<－a. 由f′(x)>0，得x<eq \f(a,3)或x>－a， 此时f(x)的单调递减区间为(eq \f(a,3)，－a)， 单调递增区间为(－∞，eq \f(a,3))和(－a，＋∞)． 综上，当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－a，eq \f(a,3))， 单调递增区间为(－∞，－a)和(eq \f(a,3)，＋∞)． 当a<0时，f(x)的单调递减区间为(eq \f(a,3)，－a)， 单调递增区间为(－∞，eq \f(a,3))和(－a，＋∞)． (3)依题意x∈(0，＋∞)，不等式2xln x≤f′(x)＋a2＋1恒成立，等价于2xln x≤3x2＋2ax＋1在(0，＋∞)上恒成立，可得a≥ln x－eq \f(3,2)x－eq \f(1,2x)在(0，＋∞)上恒成立， 设h(x)＝ln x－eq \f(3x,2)－eq \f(1,2x)， 则h′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2x2)＝－eq \f(?x－1??3x＋1?,2x2). 令h′(x)＝0，得x＝1，x＝－eq \f(1,3)(舍)， 当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0. 当x变化时，h′(x)与h(x)变化情况如下表 x (0,1) 1 (1，＋∞) h′(x) ＋ 0 － h(x) 单调递增 －2 单调递减 ∴当x＝1时，h(x)取得最大值，h(x)max＝－2， ∴a≥－2，即a的取值范围是[－2，＋∞)． 3．某知名保健品企业新研发了一种健康饮品，已知每天生产该种饮品最多不超过4万瓶，最少1 000瓶，经检测在生产过程中该饮品的正品率P与每日生产产品瓶数x(x∈N*，单位：千瓶)间的关系为P＝eq \f(4 200－x2,4 500)，每生产一瓶饮品盈利4元，每出现一瓶次品亏损2元．(注：正品率＝饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x的函数； (2)求该种饮品日利润的最大值． 解　(1)由题意，得每生产1 000瓶饮品盈利4 000元，每出现1 000瓶次品亏损2 000元， 故y＝4 000·eq \f(4 200－x2,4 500)·x－2 000(1－eq \f(4 200－x2,4 500))·x＝3 600x－eq