第八章立体几何学案45空间向量及其运算《高中数学第一轮复习导学案》.docVIP

学案45　空间向量及其运算 导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 自主梳理 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向______且模______的向量． (3)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是______________________________． 推论　如图所示，点P在l上的充要条件是：eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋ta① 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，则①可化为eq \o(OP,\s\up6(→))＝___________________或eq \o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(OB,\s\up6(→)). (4)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb，推论的表达式为eq \o(MP,\s\up6(→))＝xeq \o(MA,\s\up6(→))＋yeq \o(MB,\s\up6(→))或对空间任意一点O有，eq \o(OP,\s\up6(→))＝__________________或eq \o(OP,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OB,\s\up6(→))＋zeq \o(OM,\s\up6(→))，其中x＋y＋z＝____. 2．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b______________，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则______________________叫做向量a，b的数量积，记作________，即______________________________． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝____________________； ②交换律：a·b＝________； ③分配律：a·(b＋c)＝________________. 4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝____________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b(b≠0)?____________?________，__________，________________， a⊥b?________?_________________________________ (a，b均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝eq \r(a·a)＝_____________________________________________________________， cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝_________________________________________________________ . 若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝__________________________________________________________________. 自我检测 1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2) C．x＝eq \f(1,6)，y＝－eq \f(3,2) D．x＝－eq \f(1,6)，y＝eq \f(3,2) 2．