第二章函数学案6函数的奇偶性与周期性《高中数学第一轮复习导学案》.docVIP

学案6　函数的奇偶性与周期性 导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题． 自主梳理 1．函数奇偶性的定义 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数． 2．奇偶函数的性质 (1)f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝____； f(x)为偶函数?f(x)＝f(－x)＝f(|x|)?f(x)－f(－x)＝____. (2)f(x)是偶函数?f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数?f(x)的图象关于_____ ___ 对称． (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性． 3．函数的周期性 (1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________． (2)性质： ①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋eq \f(T,2))＝f(x－eq \f(T,2))． ②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)． ③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq \f(1,f?x?)或f(x＋a)＝－eq \f(1,f?x?)(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数． 自我检测 1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是 A．1 B．2 C．3 D． 2．(2011·茂名月考)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 (　　) A．增函数且最小值是－5 B．增函数且最大值是－5 C．减函数且最大值是－5 D．减函数且最小值是－5 3．函数y＝x－eq \f(1,x)的图象 (　　) A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 4．(2009·江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 012)＋f(2 011)的值为 (　　) A．－2 B．－1 C．1 D． 5．(2011·开封模拟)设函数f(x)＝eq \f(?x＋1??x＋a?,x)为奇函数，则a＝________. 探究点一　函数奇偶性的判定 例1　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝(x＋1) eq \r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝x(eq \f(1,2x－1)＋eq \f(1,2))； (3)f(x)＝log2(x＋eq \r(x2＋1))；(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋x，　x<0，,－x2＋x，x>0.)) 变式迁移1　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x2－x3； (2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)； (3)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3). 探究点二　函数单调性与奇偶性的综合应用 例2　函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－eq \f(1,2))]<0的解集． 变式迁移2　(2011·承德模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________． 探究点三　函数性质的综合应用 例3　(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. 变式迁移3　定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(