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高考解答题的审题与答题示范(二)
数列类解答题
[思维流程]——数列问题重在“归”——化归
[审题方法]——审结构
结构是数学问题的搭配形式,某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系.审视结构要对结构进行分析、加工和转化,以实现解题突破.
典例
(本题满分12分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).
审题
路线
(1)要求{an}和{bn}的通项公式?需求{an}的首项a1和公差d;{bn}的首项b1和公比q.
(2)由(1)知a2nb2n-1=(3n-1)4n?分析a2nb2n-1的结构:{3n-1}是等差数列,{4n}是等比数列?符合错位相减法求和的特点.
标准答案
阅卷现场
(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,
而b1=2,所以q2+q-6=0.①
又因为q>0,解得q=2,所以bn=2n.②
由b3=a4-2a1,
可得3d-a1=8(ⅰ)
化归成基本量.
由S11=11b4,可得a1+5d=16(ⅱ).
联立(ⅰ)(ⅱ),解得a1=1,d=3,③
由此可得an=3n-2.④
所以数列{an}的通项公式为an=3n-2,
数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,得a2nb2n-1=(3n-1)×4n,⑤
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,(*)⑥
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,(**)⑦
(*)-(**)得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n
化归成等比数列
-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.⑧
得Tn=eq \f(3n-2,3)×4n+1+eq \f(8,3).⑨
所以数列{a2nb2n-1}的前n项和为eq \f(3n-2,3)×4n+1+eq \f(8,3).
第(1)问
第(2)问
得
分
点
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
2
1
2
1
1
1
1
2
1
6分
6分
第(1)问踩点得分说明
①正确求出q2+q-6=0得2分;
②根据等比数列的通项公式求出通项公式bn=2n得1分,通项公式使用错误不得分;
③求出a1=1,d=3得2分;
④根据等差数列的通项公式求出通项公式an=3n-2得1分,通项公式使用错误不得分.
第(2)问踩点得分说明
⑤正确写出a2nb2n-1=(3n-1)×4n得1分;
⑥正确写出Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n得1分;
⑦正确写出4Tn得1分;
⑧由两式相减得出-3Tn=-(3n-2)×4n+1-8正确得2分,错误不得分;
⑨正确计算出Tn=eq \f(3n-2,3)×4n+1+eq \f(8,3)得1分.
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