高三理科数学二轮复习必考问题专项突破 5 函数、导数、不等式的综合问题.docVIP

必考问题5　函数、导数、不等式的综合问题 　(2012·山东)已知函数f(x)＝eq \f(ln x＋k,ex)(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间； (3)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2. 解　(1)由f(x)＝eq \f(ln x＋k,ex)， 得f′(x)＝eq \f(1－kx－xln x,xex)，x∈(0，＋∞)， 由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． 所以f′(1)＝0，因此k＝1. (2)由(1)得f′(x)＝eq \f(1,xex)(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， 令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0. 又ex＞0，所以x∈(0,1)时，f′(x)＞0； x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0. 因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x)＝xf′(x)， 所以g(x)＝eq \f(1,ex)(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x)＝1－x－xln x， 求导得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)． 所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增； 当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减． 所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2. 又当x∈(0，＋∞)时，0＜eq \f(1,ex)＜1， 所以当x∈(0，＋∞)时，eq \f(1,ex)h(x)＜1＋e－2，即g(x)＜1＋e－2. 综上所述结论成立． 导数与函数、方程、不等式的交汇综合，以及利用导数研究实际中的优化问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．题型以解答题的形式为主，综合考查学生分析问题、解决问题的能力． 应通过一些典型例题的分析提高分析问题和解决问题的能力．解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决. eq \a\vs4\al\co1(利用导数解决方程根的问题) 常考查：①确定零点，图象交点及方程解的个数问题；②应用零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或范围．该类试题一般以含参数的高次式、分式、指数式或对数式结构的函数、方程呈现．主要考查学生转化与化归、数形结合思想，以及运用所学知识解决问题的能力． 【例1】? 已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点． (1)求a； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围． [审题视点] 　 　 [听课记录] [审题视点] (1)由f′(3)＝0求a；(2)由f′(x)＞0或f′(x)＜0，求函数f(x)的单调区间；(3)求f(x)的极值，结合图象可确定b的取值范围． 解　f(x)的定义域：(－1，＋∞)． (1)f′(x)＝eq \f(a,1＋x)＋2x－10， 又f′(3)＝eq \f(a,4)＋6－10＝0，∴a＝16. 经检验此时x＝3为f(x)极值点，故a＝16. (2)f′(x)＝eq \f(16,1＋x)＋2x－10 ＝eq \f(2x2－8x＋6,x＋1)＝eq \f(2?x－1??x－3?,x＋1). 当－1<x<1或x>3时，f′(x)>0； 当1<x<3时，f′(x)<0. ∴f(x)单调增区间为：(－1,1)，(3，＋∞)，单调减区间为(1,3)． (3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调增加，在(1,3)内单调减少，在(3，＋∞)上单调增加，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，极小值为f(3)＝32ln 2－21. 因为f(16)>162－10×16>16ln 2－9＝f(1)， f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)， 所以在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)． 因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)． 对于研究方程根的个数的相关问题，利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决．这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 【突破训练1】 (20