高三理科数学二轮复习必考问题专项突破 16 椭圆、双曲线、抛物线.docVIP

16　椭圆、双曲线、抛物线 1．(2012·福建)已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.eq \r(5) B．4 eq \r(2) C．3 D．5 答案： A　[易求得抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(5),2)x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)×3)),\r(1＋\f(5,4)))＝eq \r(5).] 2．(2012·新课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4 eq \r(3)，则C的实轴长为(　　)． A.eq \r(2) B．2 eq \r(2) C．4 D．8 答案：C　[抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2 eq \r(3))在等轴双曲线C；x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.] 3．(2012·山东)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2).双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)． A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1 C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,5)＝1 答案：D　[因为椭圆的离心率为eq \f(\r(3),2)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，c2＝eq \f(3,4)a2，c2＝eq \f(3,4)a2＝a2－b2，所以b2＝eq \f(1,4)a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得eq \f(x2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1，即eq \f(x2,4b2)＋eq \f(x2,b2)＝eq \f(5x2,4b2)＝1，所以x2＝eq \f(4,5)b2，x＝±eq \f(2,\r(5))b，y2＝eq \f(4,5)b2，y＝±eq \f(2,\r(5))b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))b，\f(2,\r(5))b))，所以四边形的面积为4×eq \f(2,\r(5))b×eq \f(2,\r(5))b＝eq \f(16,5)b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,5)＝1.] 4．(2012·北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________． 解析　直线l的方程为y＝eq \r(3)(x－1)，即x＝eq \f(\r(3),3)y＋1，代入抛物线方程得y2－eq \f(4 \r(3),3)y－4＝0，解得yA＝eq \f(\f(4 \r(3),3)＋ \r(\f(16,3)＋16),2)＝2 eq \r(3)(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为eq \f(1,2)×1×2 eq \r(3)＝eq \r(3). 答案　eq \r(3) 圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系． 复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧． 二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力. 必备知识 椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，点P(x，y)在椭圆上． (1)离心率：e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))； (2)过焦点且垂直于长轴的弦